Well-defined

数学におけるwell-defined[注釈 1]は, 「定義によって一意の解釈又は値が割り当てられる」ことを言う[2]

定義

ある定義がwell-definedであるのは次の二命題が示されたときである[3]

実際に成立する
(定義で)示された表式が成立しない場合[注釈 2],well-definedであるとは言えない。
経由する中途の表式に依存しない
往々にして,(数学上の)定義はいくつもの表式を経由する[注釈 3]。このとき,最終的な結論が中途の表式に依存している場合[注釈 4],well-definedであるとは言えない。

代数学的定義

写像と定義域上の同値関係に対して,次のように数式を用いて記述することもできる。 集合X上の同値関係写像f:X Yに対して

xxならばf(x) = f(x)

が任意のx, x Xに対して成立するとき,写像fは関係に関してwell-definedであると言う[5] (参照: 同値関係のもとでのwell-defined性準同型定理)。

実数a > 0xの定義を考える。 x有理数の場合に良く定義されているとして,x実数の場合に定義を拡張したいとする。 このときxに収束する有理数列{xn} 
n = 1
 
を用いて

ax := limn axn

と定義する場合,well-defined性が問題になる[3]。 実際は,そのような{xn}を取ることができるし,右辺の極限は収束して極限値は{xn}の取り方によらずに一意に定まる (特にxが有理数のとき,もともとの定義と一致する)[6]。 したがってこの定義はwell-definedである。

関連項目

  • 定義
  • 未定義 (数学) (undefined)

脚注

注釈

  1. 「容易く理解できる」といった意味の英語形容詞である(反意語ill-defined[1]
  2. 例えば極限値を用いた定義で,そもそも極限が存在しない場合など[3]
  3. 例えば交わる二直線の狭角に関する定義で,その交点に(便宜的な理由から)新しい名前を付けるなど[4]
  4. 前注釈の例を引き継いで述べると,用意した交点の位置(や名前)が変わると最終的な(定義の)結論が変わってしまう場合。

出典

  1. oxf 2015, well-defined.
  2. Weisstein 2008.
  3. 雪江 2010, p. 10.
  4. 数セミ 1999, p. 53.
  5. 横田 1976, p. 60.
  6. Denlinger 2011, p. 282.

参考文献

  • Denlinger, Charles G. (2011). Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. ISBN 978-0-7637-7947-4
  • (英語) オックスフォード現代英英辞典 (9 ed.). オックスフォード大学出版局. (2015)
  • Weisstein, Eric W. (2008年6月1日). Well-Defined -- from Wolfram MathWorld”. 2019年8月10日閲覧。
  • 雪江 明彦『代数学1 群論入門』日本評論社、2010年11月25日、初版(日本語)。ISBN 978-4-535-78659-2。
  • 横田 一郎『例題が教える群論入門』現代数学社、1976年11月20日、初版(日本語)。NCID BN03365362
  • 『数学の言葉づかい100』数学セミナー編集部、日本評論社、1999年4月25日、初版(日本語)。NCID 4-535-606130-7
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