零環

数学の分野である環論において、零環: the zero ring[1][2][3][4][5]または自明環 (trivial ring) は1つの元からなる(同型を除いて)唯一のである。(あまり一般的ではないが、“零環 (zero ring)”という用語は任意の rng of square zero, すなわちすべての xy に対して xy = 0 であるような rng を指すために使われることもある。この記事では1つの元からなる環の意味で使う。)

環の圏において、零環は終対象である。始対象は有理整数環 Z である。

定義

零環は一元集合 {0} において演算 + と · を 0 + 0 = 0 と 0 · 0 = 0 で定義したものであり、{0} あるいは単に 0 と表記される。

性質

  • 零環は加法の単位元 0 と乗法の単位元 1 が一致する唯一の環である[6][7]。(証明:環 R において 1 = 0 であれば、R のすべての元 r に対して r = 1r = 0r = 0 である。)
  • 零環は可換環である。
  • 零環の元 0 は単元であり、その乗法に関する逆元は自分自身である。
  • 零環の単数群は自明群 {0} である。
  • 零環の元 0 は零因子ではない。
  • 零環の唯一のイデアルは零イデアル {0} であり、これは単位イデアルでもあり、環全体に等しい。このイデアルは極大イデアルでも素イデアルでもない。
  • 零環はでない。実は、整域ですらない[8]。元の数が2よりも少ない体は存在しない。(数学者が「一元体」と言うときには、存在しない対象に言及しているのであり、彼らの意図は、もしこの対象が存在すればその上のスキームの圏となるであろう圏を定義する事である。)
  • 任意の環 A に対して、A から零環への環準同型がただ1つ存在する。したがって零環は環の圏における終対象である[9]
  • A が零環でなければ、零環から A への環準同型は存在しない。とくに、零環は零環でないどんな環の部分環でもない[10]
  • 零環の標数は 1 である。
  • 零環上の唯一の加群は零加群である。これは任意の基数 א に対しランク א の自由加群である。
  • 零環は局所環ではない。しかしながら、半局所環ではある。
  • 環のスペクトルは空概型である[11]
  • 零環は半単純だが単純ではない。
  • 零環はどんな体上の中心的単純環でもない。
  • 零環の全商環はそれ自身である。

構成

  • 任意の環 AA のイデアル I に対し、剰余環 A/I が零環であることと I単位イデアルであることは同値である。
  • 任意の可換環 AA乗法的集合 S に対し、局所化 S−1A が零環であることと S が 0 を含むことは同値である。
  • A が任意の環であれば、A 上の 0 × 0 行列の環 M0(A) は零環である。
  • 環からなる空の集まりの直積は零環である。
  • 自明群自己準同型環は零環である。
  • 位相空間上の実数値連続関数のなす環は零環である。

脚注

  1. Artin, p. 347.
  2. Atiyah and Macdonald, p. 1.
  3. Bosch, p. 10.
  4. Bourbaki, p. 101.
  5. Lam, p. 1.
  6. Artin, p. 347.
  7. Lang, p. 83.
  8. Bosch, p. 10.
  9. Hartshorne, p. 80.
  10. Hartshorne, p. 80.
  11. Hartshorne, p. 80.

参考文献

  • Michael Artin, Algebra, Prentice-Hall, 1991.
  • Siegfried Bosch, Algebraic geometry and commutative algebra, Springer, 2012.
  • M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
  • N. Bourbaki, Algebra I, Chapters 1-3.
  • Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer, 1977.
  • T. Y. Lam, Exercises in classical ring theory, Springer, 2003.
  • Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002.
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