群の直積

数学、特に群論において、与えられたいくつかの直積(ちょくせき、: direct product)は、それらを正規部分群として含むような新しい群を作る構成法である。

定義

2つの群の直積

G, H が与えられたとき、その集合としての直積 G × H に、

として演算を定義すると、 G × H は群になる。これを GH直積という。

有限個の群の直積

同様に、有限個の群 G1, G2, ..., Gn が与えられたとき、その直積集合の元

に対して

と定義すると、ΠGi は群になり、これを G1, ..., Gn直積と言う。

任意個の群の直積

一般に、群の族 {Gi}i I が与えられると、その直積集合の元 (gi), (g'i) に対して、

(gi) (g'i) = (gi g'i)

によって演算を定義したものが群 {Gi} の直積である。

  • 実数全体の集合 R を加法に関する群とみなすと、その直積 R × R はベクトル (x, y) を要素に持ち、直積としての加法
    (x1, y1) + (x2, y2)  =  (x1 + x2, y1 + y2)
    は平面幾何ベクトルとしての加法になっている。
  • GH を位数2の巡回群とし、それぞれの乗算表が
    G
    1 a
    1 1 a
    a a 1
    H
    1 b
    1 1 b
    b b 1

    であるならば、直積 G × H は以下の乗算表を持ち、クラインの四元群に同型である。

    G × H
    (1, 1) (a, 1) (1, b) (a, b)
    (1, 1) (1, 1) (a, 1) (1, b) (a, b)
    (a, 1) (a, 1) (1, 1) (a, b) (1, b)
    (1, b) (1, b) (a, b) (1, 1) (a, 1)
    (a, b) (a, b) (1, b) (a, 1) (1, 1)

性質

  • GH の直積 G × H は、{(g, 1) | g G} と {(1, h) | h H} を正規部分群として含む(ただし 1 はそれぞれの単位元)。これらはそれぞれ G, H同型である。
  • G, H, K に対し、次の同型が成り立つ。
  • 普遍性)群 Gi (i I) が与えられているとする。πj : Πi I Gi Gj (j I) を自然な射影とする。このとき任意の群 H と任意の群準同型写像 fj : H Gj (j I) に対して、一意的な準同型 φ : H Πi I Gi が存在して、fj = πj∘φ (j I) が成り立つ。つまり群の直積は群のなす直積である。

参考文献

  • 森田康夫『代数概論』、数学選書9(第12版)、裳華房、ISBN 978-4-7853-1311-1
  • Serge Lang, Algebra, GTM 211 (Rev. 3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95385-4

関連項目

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