算術幾何平均

数学において算術幾何平均(さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean)とは、2 つの複素数(しばしば正の実数)に対して算術平均(相加平均)と幾何平均(相乗平均)を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。

定義

である複素数 について


と定めれば数列 は同じ値に収束する。その極限を の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 の根号の符号は算術平均 の側にあるものを選ぶものとする。

の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。

の場合は、次式になる。

概要

が正の実数である場合、

が成り立ち(相加・相乗平均の関係式)、


となることから

という関係が成り立っている。{an} は下に有界な単調減少数列であり、{bn} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{an} の極限を α とし、{bn} の極限を β とすると定義の漸化式から


が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {an}, {bn} は n とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。

性質

正の定数 に対し

が成り立つ。

この数列の収束は

を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。

また次のことが知られている。

右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。

証明

複素数 の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。


となるように の根号の符号を決めると約束したので、

である。 の階差とすれば


である。したがって、級数 は絶対収束する。すなわち、数列 は収束し、数列 と同じ値に収束する。


算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、 は正の実数とする。

と置換すると、

と置換することによって、


となる。したがって、

が複素数である場合は、積分路 と実軸との間に(留数をもつ)がないことを確かめなければならない。 , とすれば、

これに を代入すると

であり、 となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 の間(原点に近いところ)を通る。また、, とすると、

これに を代入すれば

であるから、積分路は極 の間を通る。

算術調和平均

である複素数 について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列



の極限について

である。つまり、算術調和平均は の幾何平均に等しい。このことは


から明らかである。

調和幾何平均

である複素数 について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列



の極限について

である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、 を逆数にして


から明らかである。

関連項目

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