直交行列

直交行列(ちょっこうぎょうれつ, : orthogonal matrix)とは、転置行列逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり n×n行列 M の転置行列を MT と表すときに、 MTM = M MT = E を満たすような M のこと。ただし、 En 次の単位行列であり、 E 自身も直交行列である。

有限次元計量ベクトル空間の直交変換は、実直交行列(成分が全て実数の直交行列)によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは(必ずしも有限次元でない)実計量ベクトル空間 V において内積を変えない(等長性をもつ)線形変換 f のことである。すなわち、 v, wV の任意のベクトルとするときに、(f(v), f(w)) = (v, w) が成り立つ。ただし、(, ) は内積を表す。

定義

n 次正方行列 M の 転置行列 MTM逆行列になっているとき、すなわち MT = M-1 を満たすとき、M直交行列であるという。

直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 V の任意のベクトル v, w に対し、内積を (v, w) = vTw とする。v, w が行列 M により Mv, Mw に変換されたとき、内積は

となるので、行列 M が直交行列であるのは計量ベクトル空間 V の内積を変えないとき、かつそのときに限る。

n 次直交行列全体の集合を n直交群といい、O(n) と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、SO(n) と書く。

回転行列

2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。

置換行列

2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。

反射行列

反射行列 H は、単位ベクトル u を以下のように反転させる性質を持ち、ハウスホルダー変換に使用される。

性質

  • 直交行列の行列式の値は ±1 である。実際、行列 A が直交行列なら行列式の性質から
となる。逆は必ずしも真ではない。
  • n 次行列 An 個の列ベクトル(行ベクトル) を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 AAT=E が正規直交基底になる条件と同値である。
  • n 次の直交行列 An 次の列ベクトル x が与えられた時、ノルムを ‖‖ で表せば、 ‖Ax‖ = ‖x‖ である。

脚注

    参考文献

    • 齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学 1〉、1982年(原著1966年)。ISBN 978-4-13-062001-7。
    • 佐武一郎『線型代数学』裳華房〈数学選書 1〉、1974年。ISBN 978-4-7853-1301-2。
      • 佐武一郎『線型代数学』裳華房〈数学選書 1〉、2015年、新装版。ISBN 978-4-7853-1316-6。
    • Strang, Gilbert (2007), Computational Science and Engineering, Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-1-7
      • ギルバート・ストラング『ストラング:計算理工学』今井桂子・岡本久 監訳幹事、近代科学社〈世界標準MIT教科書〉、2017年。ISBN 978-4-7649-0423-1。

    関連項目

    外部リンク

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