特殊ユニタリ群

n 次の特殊ユニタリ群(とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary groupSU(n) とは、行列式が1の nユニタリ行列の為すの事である。群の演算行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 SU(n)ユニタリ群 U(n)部分群であり、さらに一般線型群 GL(n, C)の部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用ワインバーグ=サラム理論強い相互作用量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型大統一理論などに出てくる。

定義

ここで U(n)ユニタリ群det行列式である。

性質

特殊ユニタリ群 SU(n) は、以下のような性質を満たす。

生成子

SU(n)生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列表現される。

基本表現

基本表現、或いは定義表現では、n正方行列で表現される。

ここで、 f構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、d は全ての添え字に関して対称である。

従って、

規格化条件として

をとる。

随伴表現

随伴表現では、n21 次正方行列で表現され、その成分は、

で与えられる。

SU(2)

SU(2)の一般形は

となる。ここで、α, β C|α|2 + |β|2 = 1 を満たす。

SU(3)

の生成子 T の基本表現は

ここで、ゲルマン行列である。

交換関係は

となり、構造定数 f

となる。d

となる。

他の群との関係

素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。

O(n): 直交群SO(n): 特殊直交群USp(2n): シンプレクティック群E6, E7, G2: 例外型リー群

また、スピン群と以下の同型がある

関連項目

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Special Unitary Group". MathWorld (英語).
  • special unitary group in nLab
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