無次元量

無次元量(むじげんりょう、英語: dimensionless quantity)とは、全ての次元指数がゼロのである[1]。慣習により無次元量と呼ばれるが無次元量は次元を有しており、指数法則により無次元量の次元は1である。 無次元数(むじげんすう、dimensionless number)、無名数(むめいすう、bare number)とも呼ばれる。

無次元量の数値は単位の選択に依らないので、一般的な現象を特徴付ける物理量として、物理学工学経済など多くの分野で広く用いられる。このようなパラメータは現実には物質ごとに決まるなど必ずしも操作可能な量ではないが、理論や数値実験においては操作的な変数として取り扱うこともある。

歴史

無次元量は科学において時々現れ、次元解析の分野において形式的に扱われる。19世紀、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエスコットランドの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルが、近代的な次元単位の概念を発展させた。後のイギリスの物理学者オズボーン・レイノルズレイリー卿の研究は、物理学における無次元数の理解に貢献した。エドガー・バッキンガムは、レイリーの次元分析の手法を基に、これらの量の性質を正式化するバッキンガムのπ定理を証明した(これは、フランスの数学者ジョゼフ・ベルトランの以前の研究とは独立している)。多くの他の無次元数(主として比率)は、1900年代初期、特に流体力学熱伝導の分野で作られた。 組立単位 dB(デシベル)で比率を計測することは、今日、広く普及している。2000年代初頭、国際度量衡委員会は、無次元量の単位を「ウノ」(uno)と命名することについて議論したが、却下された[2][3][4]

比率

同じ種類の2つの量のとして定義される量は無次元量である[5]。例えば傾きは水平距離に対する鉛直距離の比である。つまり「長さ」という同種の量の比として定義される無次元量である。より複雑な例として、変形の尺度であるひずみは、変形前の長さに対する長さの変化の比として定義される無次元量である。他の例として濃度(質量濃度、体積濃度、モル分率など)が挙げられる。例えばアルコール度数アルコール飲料容積に対するエタノールの容積の比である。

このような無次元量の一貫性のある組立単位は数の1である。実用上は数値を扱い易くするために、百分率パーセント、% = 0.01)や千分率パーミル、‰ = 0.001)、ppm106)、ppb(109)、ppt(1012)などのParts-per表記が用いられる。

また、どの種類の量の比であるかを明示するために対応する単位の比(kg/kg、mol/molなど)で表される。例えばアルコール度数は通常は百分率で表わされるが、容積比であるから % = mL/100mL と書き換えられる。

角度の単位は無次元量である。弧度法による単位(ラジアン)は円周上の長さと半径との比率であり、度数法による単位(グラードなど)は円周上の長さと円周との比率に定数をかけたものである。

統計では、変動係数平均に対する標準偏差の比であり、データのばらつきを表現するために使用される。

他に以下のような例がある。

計数量

国際単位系(SI)と対応する国際量体系(ISQ)において、計数量(counting quantity)は通常は無次元量であるとみなされている[5]。ただし、上述の比として定義される無次元量とは異なり、計数量は長さや質量など他の基本量から組み立てられる量ではない[5]

計数量の単位である日本語における数助詞(個、人、回など)や、これらと対応する英語におけるcount(s), turn(s), rotation(s) など、及びその他外国語で対応する単語などは、現在のSIにおいては一貫性のある組立単位 1 の書き換えとして位置付けられているが、これらを新たな基本量の単位とみなすべきである可能性が示唆されている[6]

数係数を含む計数量の単位としては十二進数で個数を数える際のダースグロスなどが挙げられる。

数学定数

数学定数である 1虚数単位 i円周率 πネイピア数 e など、全ての純粋なで次元は1である。

無次元数の具体例

無次元数は、分野や理論ごとに多くの種類がある。それは、現象を記述する理論ごとに無次元数を見つけることができ、また無次元数の作り方には自由度があるためである。 以下にはよく知られているであろう無次元数を挙げる。

偏差値

平均値標準偏差規格化し、ある数値が母集団の中でどれくらいの位置にいるかを表したものを偏差値という。

力学

流体力学

  • レイノルズ数
    • 流体力学の分野で用いられるレイノルズ数は、 代表長さ [長さの次元]、代表速度 [速さ = 長さ / 時間の次元]、動粘性係数 [長さ2 / 時間の次元] の値を用いて求められ、流れ場の状態(運動量輸送における移流拡散の比)を表す無次元数となる。形は同じで大きさが異なる物体回りの流れを比較する際、両者のレイノルズ数が同じであれば、物体回りの流体の流れは相似となりサイズは異なっても本質的には同じ現象と考えることができる。特に乱流を扱う際は必須のパラメーターである。
  • 熱輸送
  • 浮力、重力
  • その他

材料工学

電磁気学

素粒子物理学

光学

通信工学

化学

気象学

単位の記述

無次元数には基本的に単位を付与しないが[7]レベルのような、対数を用いて定義される量には特別の単位を与えることがある。

  • デシベル:基準量との比の常用対数(底を 10 とする)。
  • ネーパ:基準量との比の自然対数(底をネイピア数 e ≈ 2.718281828459045... とする)。

脚注

  1. 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity”. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO (2008年). 2011年3月22日閲覧。
  2. BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 15th Meeting (17–18 April 2003). 2006年11月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年1月22日閲覧。
  3. BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 16th Meeting”. 2006年11月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年1月22日閲覧。
  4. Dybkaer, René (2004). “An ontology on property for physical, chemical, and biological systems”. APMIS Suppl. (117): 1–210. PMID 15588029. http://www.iupac.org/publications/ci/2005/2703/bw1_dybkaer.html.
  5. 無次元であることを明記したい場合に [1] などと書く場合もある。

関連項目

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