正単体

正単体(せいたんたい、regular simplex)は、2次元正三角形3次元正四面体4次元正五胞体を各次元に一般化した正多胞体。なお、0次元正単体は、1次元正単体は線分である。

2次元正単体(正三角形
3次元正単体(正四面体
4次元正単体(正五胞体)の投影図

また言い換えると、単体である正多胞体、つまり、辺の長さが全て等しい単体である。

(アルファたい)ともいい、n (n 0) 次元正単体を と書く。

超立方体(正測体)、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

作図

n 次元正単体は、n + 1 次元空間内で作図するのが簡単である。 の巡回

頂点として、互いをで結べばよい。この図形は、原点を中心とするn + 1 次元正軸体の n 次元面の一つである。例えば (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)を頂点とする正三角形(2次元正単体)は (0, 0, 0)を中心とする正八面体(3次元正軸体)の面の一つであるが、この場合は (1, 1, 1)を4番目の頂点とする正四面体の構成面でもあり、2種類の正多面体空間充填が可能である。

n 次元空間内で作図するには、

  • 座標変換する。
  • n - 1 次元単体を作図し、重心で直交する垂線上の適切な位置に頂点を追加する。
  • 自明な0次元単体から開始し、再帰的に1つ上の次元の正単体を作図する。

などがある。

性質

特にことわらない限り、辺の長さが an 次元正単体について述べる。

超体積は、

超表面積は

である。

ファセット (n - 1 次元面) は n - 1 次元正単体である。したがって一般に、m (0 m n - 1) 次元面は m 次元正単体である。たとえば、正五胞体(4次元正単体)の面(2次元面)は正三角形(2次元正単体)、胞(3次元面)は正四面体(3次元正単体)である。

m 次元面の個数は

である。これはパスカルの三角形の第 n + 2 段の m + 2 番目の数字である。特に、頂点とファセットはそれぞれ 個である。

m (0 m n - 2) 次元面に集まるl (m + 1 l n - 1) 次元面の個数は

である。これはパスカルの三角形の第 n - m + 1 段の l - m + 1 番目の数字であり、n - m - 1 次元単体l - m - 1 次元面の個数である。

自らと双対である。

ペトリー多胞体は n - 1 次元正軸体である。たとえば、正四面体のペトリー多角形正方形である。

関連項目

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