正十二面体

正十二面体(せいじゅうにめんたい、: regular dodecahedron)は正多面体の1つ。空間正五角形12枚で囲んだ凸多面体

正十二面体

種別 正多面体十二面体
面形状 12枚の正五角形
辺数 30
頂点数 20
頂点形状 53
シュレーフリ記号 {5, 3}
ワイソフ記号 3 | 2 5
対称群 Ih
双対多面体 正二十面体
特性 凸集合
正十二面体投影図(辺心図)

性質

計量

面の面積
表面積
体積
最長対角線の長さ
外接球半径
内接球半径

頂点、辺、面の座標

以下は、標準的な座標の取り方の一つである。ここで 黄金比 である。

20個の頂点(原点からの距離 )の座標
  • の8個
  • のxyz座標を偶置換した 12個
30個の辺(長さ)の、両端点および中心の座標
  • 両端点 、中心 のxyz座標を偶置換した 24個
  • 両端点 、中心 のxyz座標を偶置換した 6組
12個の面の、反時計回りの頂点および中心の座標
  • 頂点 , , , , 、中心 のxyz座標を偶置換した 12個

正十二面体の作り方

正十二面体と内接する立方体
正十二面体と外接する立方体の直投影図
  • 正十二面体を内接立方体から構成する方法がユークリッドの『原論』第13巻に記されている。一松信はこれを「立方体に屋根をかける」方法と呼んでいる。[1]
  • これとは逆に、正十二面体を外接立方体から立方体の12の稜を一様に切稜して作る方法が、『多面体木工(増補版)』(佐藤郁郎・中川宏)によって示された。[2]それは、正十二面体の投影図(辺心図)が、直交する3方向に現れることに基づいている。投影図は100ミリの立方体から切り取る部分の寸法を示しているが、これは黄金比にあたる。切り取る三角形の赤丸の角度が切稜の角度になる。約31.7度である。

立方体から正十二面体を作る様子

発泡スチロールカッターを使って立方体から正十二面体を作る様子を示す。


X軸まわりの切稜

Y軸まわりの切稜

Z軸まわりの切稜

立方体切稜による正十二面体の完成

正十二面体の証明

原論』第13巻の定理17の図

ユークリッド原論』第13巻の定理17においては、立方体の一辺を対角線の一つとする五角形のひさしをかけることによって、この五角形が等辺にして一平面上にありかつ等角であることが証明されている[3]

正十二面体をつくり,先の図形のように球によってかこみ,そして正十二面体の辺が余線分とよばれる無理線分であることを証明すること。『ユークリッド原論』第13巻の定理17[4]

図に示したように、『ユークリッド原論』第13巻の定理17の説明[3]にあるギリシア文字ラテン文字に変更して述べると以下のようになる。

 先に述べた立方体の互いに垂直な二つの面 ABCD、CBEF が定められ、辺 AB,BC,CD,DA,EF,EB,FC のおのおのが G,H,K,L,M,N,O において2等分され,GK HL,MH,NO が結ばれ,NP,PG,HQ のおのおのが点 R,S,T において外中比に分けられ,RP,PS,TQ がそれらの大きい部分とされ,点 R,S,T から立方体の面に垂直に立方体の外側の方向に RU,SV,TW が立てられ,RP,PS,TQ に等しくされ,UB,BW,WC,CV,VU が結ばれたとせよ。五角形 EBWCV は等辺にして一平面上にありかつ等角であると主張する。『ユークリッド原論』第13巻の定理17[5]

星型 


小星型十二面体
B

大十二面体
C

大星型十二面体
D

この図形をに持つ立体


大星型十二面体

小二重三角二十・十二面体

大二重三角二十・十二面体

二重三角十二・十二面体

5個の立方体による複合多面体

5個の正四面体による複合多面体

10個の正四面体による複合多面体

派生的な立体


切頂十二面体
t{5, 3}

二十・十二面体
r{5, 3}

変形十二面体
sr{5, 3}

五方十二面体

正十二面体と正二十面体による複合多面体

近縁となるジョンソンの立体


側錐十二面体

双側錐十二面体

二側錐十二面体

三側錐十二面体

関連項目

正十二面体サイコロ

脚注

  1. 正多面体を解く. 東海大学出版会. (2002/5/20)
  2. 多面体木工. 特定非営利活動法人 科学協力学際センター. (2006/8/1)
  3. ハイベア & メンゲ (1971, pp. 429–432).
  4. ハイベア & メンゲ (1971, p. 429).
  5. ハイベア & メンゲ (1971, pp. 429f.).

参考文献

  • 小笠英志4次元以上の空間が見えるベレ出版、2006年5月25日。ISBN 4-86064-118-3。 - pp.97-101に正十二面体の対角線の長さを全て求める方法が載っている。
  • 一松信『正多面体を解く』東海大学出版会、2002年5月20日。
  • 佐藤郁郎中川宏多面体木工科学協力学際センター、2011年3月、増補版。ISBN 978-4-9905880-0-7。
  • 『ユークリッド原論』ハイベアメンゲ編、中村幸四郎寺阪英孝伊東俊太郎池田美恵訳・解説、共立出版 - 全13巻の最初の邦訳。
    • (ハードカバー)1971年7月。ISBN 4-320-01072-8
    • (縮刷版)1996年6月。ISBN 4-320-01513-4
    • 追補版)2011年5月。ISBN 978-4-320-01965-2

外部リンク

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