数え上げの和の法則

初等組合せ論における和の法則(わのほうそく、: rule of sum)あるいは加法原理 (addition principle) は基本的な数え上げ原理の一つである。簡単に言えば、「ある試行に関する場合が A 通りと別のある場合が B 通りあり、それらが同時に起こることがないならば、それらの場合の選び方は A + B 通りある」ということを述べるものである。

より厳密には、和の法則は集合に関する一つの事実「どの二つも互いに素な集合の有限個の集まり大きさの和が、それら集合の合併の大きさに等しい」を言うものである。式で書けば

が成り立つ(右辺は、族の非交和の濃度である)。

簡単な例

一人の女性が、今日はどこか一つの店で買い物をしようと、街の北側へ行くか南側へ行くか考えている。北側へ行けばモール・家具店・宝石店の 3 通りの選択肢があり、南側へ行けば洋服店・靴店の 2 通りの選択肢がある。よって、この女性が今日買い物に行く可能性のある店は 3 + 2 =5 通りである。

包含と切除の原理

包含と切除の原理は、和の法則の一般化と考えることができ、それ自身も適当な集合族の合併の元の数を数えるものである(しかし、考える集合が互いに交わらないとは仮定しない)。

A1, …, An が有限集合のとき、

が成り立つ。

関連項目

参考文献

    外部リンク

    • Weisstein, Eric W. "Cardinal Addition". MathWorld (英語).
    • Sum Rule for Counting at ProofWiki
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