慣性モーメント

慣性モーメント(かんせいモーメント、: moment of inertia)あるいは慣性能率(かんせいのうりつ)、イナーシャ I とは、物体の角運動量 L角速度 ω との間の関係を示す量である。

古典力学

運動の第2法則
歴史
慣性モーメント
量記号 I
次元 L 2 M
SI単位 kg m2

定義

質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル ω で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル L は次のように書ける。

[1]

ここでmii 番目の質点の質量、ri は回転軸上の原点との相対座標でありriはその大きさである。この式からわかるように、Lω と向きは必ずしも一致しないが、ω線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をIとすると、

と表せる。この変換 I は2階のテンソルであり、LIの各成分は

という形に表される[2]。ここに δjkクロネッカーのデルタri, j はベクトル rij 成分である。I を行列表示すると

となる。この定義から I対称テンソルである。この2階のテンソル I慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ[3]。また、慣性テンソルの対角成分 IxxIyyIzz を(それぞれ xyz 軸に関する)慣性モーメント係数: moment of inertia coefficient)と呼び、 IxyIyzIzx慣性乗積: products of inertia)と呼ぶ[4]

なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 ρ を用いて

となる[5]

ある軸まわりの慣性モーメント

物体をある回転軸まわりに回転させたとき、ωと同じ向きをもつ単位ベクトルnをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。

ここで、ω = |ω|は角速度の大きさである。

ここに与えられたスカラー をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ[6]

慣性主軸と主慣性モーメント

慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 { e1, e2, e3 } を選ぶことで対角化(すなわち Ixy = Iyz = Izx = 0 と)することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント { I1, I2, I3 } 主慣性モーメントと呼ぶ[7]。慣性主軸座標系では角運動量は

と単純に表すことができる。

計算例

棒の両端の質量

重さの無視できる長さ L の棒の両端に、質量 mM の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ aL - a とする。このとき、中心に対する慣性モーメント I は、

と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心(回転軸)のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

円板

半径 a 、全質量 M の、一様な密度 ρ = M / πa2 をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは

となる。

これは中心から半径 r 、幅 dr << r のリングの質量 dM を考えると

より、このリングの慣性モーメント dI

だから

より求めることができる。

リング状円板

円板外半径 a 、くり抜き内半径 b 、全質量 M のリング状円板では、前出の dI を用いて

となる。

性質

一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。

また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 IG をとり、軸が重心から距離 h だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント Ih

となる[8]

慣性テンソル I の物体が角速度 ω で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー T

と表示できる[9]

関連する物理量

回転半径
慣性モーメント I は物体の質量 M に比例するから、
と書くことができる。この κ は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる[8]
はずみ車効果
慣性モーメントと同じ意味を持つ物理量として、直径 D を用いて定義されるはずみ車効果 GD2 がある。
  • 重力単位系では、剛体の重量 G[kgf] と直径 D[m] を用いた量 GD2 をはずみ車効果と呼び、単位は [kgf m2] である。慣性モーメント I とは次元が異なり、GD2 = 4gI で換算する(g重力加速度[10][11][12]
  • 国際単位系では、剛体の質量 G[kg]と直径 D[m] を用いた量 GD2 をはずみ車効果と呼び、単位は [kg m2] である。慣性モーメント I と、GD2 = 4I で換算する[13][14][15][16][17]

応用

工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール(はずみ車)という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。

脚注

  1. (ゴールドシュタイン 1983, p. 248) 式(5-2)
  2. (ゴールドシュタイン 1983, p. 254)
  3. (ゴールドシュタイン 1983, p. 254)
  4. (ゴールドシュタイン 1983, p. 249)
  5. (ランダウ & リフシッツ 1986, p. 124)
  6. (ゴールドシュタイン 1983, p. 255) 式 (5-19)
  7. (ランダウ & リフシッツ 1986, pp. 124-125)
  8. (戸田 1982, pp. 167-175)
  9. (ランダウ & リフシッツ 1986, pp. 122-124)
  10. 谷腰欣司 『小型モーターのしくみ』 電波新聞社、2004年、24頁。ISBN 4-88554-775-X。
  11. 堀野正俊 『機械力学入門』 理工学社、1990年、97頁。ISBN 4-8445-2253-1。
  12. 谷腰欣司 『小型モータとその使い方』 日刊工業新聞社、1987年、21頁。ISBN 4-526-02147-4。
  13. 電気学会 電気規格調査会 標準規格 『JEC-2130 同期機』 電気書院、2016年、8頁。
  14. 日本工業標準調査会 『JIS B 0119 水車及びポンプ水車用語』 日本規格協会、2009年。
  15. 電気設備学会編 『電気設備用語辞典』 オーム社、2008年。ISBN 978-4-274-20962-8。
  16. モータ技術用語辞典編集委員会編 『モータ技術用語辞典』 日刊工業新聞社、2002年、52頁。ISBN 4-526-05034-2。
  17. 電気用語辞典編集委員会編 『電気用語辞典』 コロナ社、1997年、643頁。ISBN 4-339-00411-1。

参考文献

関連項目

回転運動と並進運動の対応一覧
回転運動 並進運動
力学変数 角度 位置
一階微分 角速度 速度
二階微分 角加速度 加速度
慣性 慣性モーメント 質量
運動量 角運動量 運動量
力のモーメント
運動方程式
運動エネルギー
仕事
仕事率
ダンパーばねに発生する力を
考慮した運動方程式
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