圏 (数学)

数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す(けん、: category)は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表すの集まりによって与えられる。圏はそれ自体、に類似した代数的構造として理解することができる。

A, B, C を対象とし、1A, 1B, 1C, f, g, gf を射とする圏

二つの圏が等しい(相等)とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり(それよりも緩い圏同型でさえ強すぎる)、圏同値がしばしば考慮される(二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる)。

圏論が初めて現れるのは "General Theory of Natural Equivalences"(「自然同値に関する一般理論」)と題された論文 (Eilenberg & Mac Lane 1945) である[1]。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの Categories for the Working Mathematician[注釈 1]がある。

群に似た構造
全域性結合性単位的可逆的
YesYesYesYes
モノイド YesYesYesNo
半群 YesYesNoNo
ループ YesNoYesYes
準群 YesNoNoYes
マグマ YesNoNoNo
亜群 NoYesYesYes
NoYesYesNo

定義

圏の定義にはいくつか同値なものが存在する[2]が、よく用いられるものの一つを以下に示す。 C は以下のものからなる:

  • 対象 ob(C)
  • 対象の間のの類 hom(C)
    • 各射 f hom(C) には始域と呼ばれる対象 a ob(C) および終域と呼ばれる対象 b ob(C) が付随して、"fa から b への射である" と言い、f: ab と書き表す。
    • a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b)a から b への射全体の成す類を言う。

このとき、任意の三対象 a, b, c ob(C) に対し、射の合成と呼ばれる二項演算 hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ↦ gf が存在して以下の公理を満足する:

  • 結合律: f: ab, g: bc, h: cd ならば h ∘ (gf) = (hg) ∘ f が成り立つ。
  • 単位律: 各対象 x ob(C) に対して x恒等射と呼ばれる自己射 idx = 1x: xx が存在して、任意の射 f: ax および g: xb に対して 1xf = f and g ∘ 1x = g を満たす。

これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。文献によっては各対象を対応する恒等射と同一視して、対象の存在を陽に仮定しない定義を採用するものもある。

記法についての注意
  • 一般の圏を表すのに、しばしばラテン大文字の太字 C, D, … や、ラテン大文字のカリグラフ体 𝒞, 𝒟, ℰ, … などが用いられる。特定の圏は、その対象を表す単語(の省略形)を用いて同様の仕方であらわす。例えば集合の圏 Set, 𝒮ℯ𝓉体の圏 Field, 𝒾ℯ𝓁𝒹, 位相空間の圏 Top, 𝒯𝓅, 束の圏 Bdl, 𝒹𝓁 のような具合である。
  • C の射の類 hom(C)mor(C)arr(C) などとも書く。同様に対象 a, b ob(C) に対する射の類も mor(a, b)arr(a, b) などとも書かれる。どの圏で射を考えているか紛らわしいときには、homC(a, b)morC(a, b) のように圏を明示することもできる。より簡便な記法では、圏 C の対象の類を |C| で表し、射の類を記号の濫用だが C で表す(この場合 a から b への射の類は単に C(a, b) と書く)。
  • 射の合成を gf で(あるいは単に併置 gf で)表すのは写像とその合成の慣習に合わせたものだが、文献によっては「図式順」で f;gfg と書くものもある[注釈 2]
圏の大きさ
C小さい (small) とは、対象の類 ob(C) および射の類 hom(C) がともに集合となる(つまり真の類でない)ときに言い、さもなくば大きい (large) と言う。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 a, b ob(C) をとるごとに、射の類 hom(a, b) が集合となるならば(hom(a, b)射集合、ホム集合などと呼び)、その圏は局所的に小さい (locally small) と言う[3]。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。

文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある[4][5]

以下は圏の例である。Borceux (1994, Examples 1.2.5, Examples 1.2.6)参照。

分類 圏と記号対象の類射の類合成大きさ備考
具体圏 集合の圏 Set全ての集合全ての写像 写像の合成 大きい
マグマの圏 Mag全てのマグマ全てのマグマ準同型
半群の圏 SemiGrp全ての半群全ての半群準同型
モノイドの圏 Mon全てのモノイド全てのモノイド準同型
群の圏 Grp全ての 全ての群準同型
アーベル群の圏 Ab全てのアーベル群群の圏の充満部分圏
Z-加群の圏と同じもの
擬環の圏 Rng全ての擬環全ての擬環準同型
環の圏 Ring全ての単位的環全ての単位的環準同型
加群の圏 R-Mod全てのR-加群全てのR-加群準同型R は任意に固定した
非可換環なら左/右/両側加群の圏を考え得る
ベクトル空間の圏 K-Vect全ての K-ベクトル空間全ての K-線型写像K は任意に固定した可換体
K-加群の圏と同じもの
表現の圏 G-Mod全ての G-アーベル群全ての G-同変写像G は固定した
Z[G]-加群の圏と同じもの
線型表現の圏 G-VectK全ての (K-係数) G-線型空間全ての G-同変線型写像G は固定した
K[G]-加群の圏と同じもの
射影表現の圏 G-ProjK全ての (K-係数) G-射影空間全ての G-同変射影変換G は固定した
多元環の圏 K-Alg全ての K-多元環全ての K-多元環準同型K は固定した可換環または可換体
結合多元環の圏は分配多元環の圏の充満部分圏
可換多元環の圏は(可換とは限らない)多元環の圏の充満部分圏
位相空間の圏 Top全ての位相空間全ての連続写像
一様空間の圏 Uni全ての一様空間全ての一様連続写像
距離空間の圏 Met全ての距離空間全ての縮小写像射は別の種類の写像を考え得る
多様体の圏 Manp全ての Cp-級多様体全ての Cp-級写像
ファイバー束の圏 Bdl全てのファイバー束全ての束写像
前順序集合の圏 Ord全ての前順序集合全ての単調写像
関係の圏 Rel全ての集合全ての二項関係関係の合成大きい具体圏同様に対象を制限して様々な部分圏を考え得る
離散圏 離散圏 CC (任意) 恒等射のみ 場合による
I 上の離散圏 I集合 I小さい
前順序集合 (P, ≤) 集合 P Hom(x, y) := {xy} (if xy),
Hom(x, y) := (otherwise)
推移律 小さい 反射律は射の単位律に相当
半順序, 全順序集合, 順序数などでも同じ
同値関係 R を持つ集合 (X, R)集合 XHom(x, y) := {xy} (if xRy),
Hom(x, y) := (otherwise)
RX 上の固定した同値関係
単対象圏 モノイド M * (任意) M 与えられた演算 小さい
G G
亜群 G 任意の射が同型射
有向グラフ (V, E)VE(ループがあってもよい)路の連接小さい自由圏と同一視できる
も参照
2-圏 小さい圏の圏 Cat全ての小さい圏すべての函手函手の合成大きい自然変換も考えると2-圏の例となる
函手圏 Func(A, B)A, B 間のすべての函手函手間のすべての自然変換自然変換の垂直合成大きい
擬圏 圏の圏 CAT全ての圏全ての函手函手の合成非常に大きい実際には圏ではない

諸定義

以下では特に断らない限り C を圏、XY をその対象、その間の射を ƒ : XY とする。Weibel (1994, A.1 Categories)参照。

圏の構成法
  • 双対圏 Cop - obj(Cop) = obj(C), HomCop(X, Y) = HomC(Y, X) である圏 Cop
  • 部分圏 D - obj(D) obj(C) であって、任意の対象 X, Y D に対して HomD(X, Y) HomC(X, Y) となる圏 D
  • 充満部分圏 D - 圏 C の部分圏であって、任意の対象 X, Y D に対して HomD(X, Y) = HomC(X, Y) となる圏 D
対象の種類
  • 始対象 I - 任意の対象 Y に対して #HomC(I, Y) = 1 である対象 I
  • 終対象 T - 任意の対象 X に対して #HomC(X, T) = 1 である対象 T
  • 零対象 0 - 始対象かつ終対象である対象0
射の種類
  • 単射 ƒ : XY - 任意の対象 Z と射 g, h : ZX に対して ghƒgƒh である射 ƒ
  • 全射 ƒ : XY - 任意の対象 Z と射 g, h : YZ に対して gh である射 ƒ
  • 全単射 ƒ : XY - 単射かつ全射である射 ƒ
  • 同型射 ƒ : XY - = idX かつ ƒg = idY となる射 g : YX がある射 ƒ
  • 逆射 ƒ1 : YX - 同型射の定義における射 g
以下では圏 C は零対象0をもつとする。
  • 零射 0 : XY - 射 X → 0 と 0Y の合成
  • i : WX - より正確には、射 f : XY の核とは ƒi = 0 であって、ƒu = 0 を満たす任意の射 u : UX に対して u = i v となる射 v : UW が一意に存在する射 i
  • 余核 p : YZ - より正確には、射 f : XY の余核とは = 0 であって、 = 0 を満たす任意の射 u : YU に対して u = v p となる射 v : ZU が一意に存在する射 p

圏の種類

関手

2 つの圏 C, D があったとき、

  • C の対象 X に対し D の対象 F(Y) を与える
  • f : XY に対し射 F(f) : F(X) → F(Y) を与える

という対応 F で射の合成や恒等射を保つものは(共変 (covariant))関手 F とよばれる。一方、似たような対応で射の定義域と余定義域とを入れ替え、合成の順番を反対にする対応は C から D への反変関手 (contravariant functor) とよばれる。C から D への反変関手を考えるということは C の双対圏 Cop から D への共変関手を考えるということと同じになる。

自然変換 (natural transformation) は 2 つの関手間の関係である。関手はしばしば「自然な構成」を記述し、そして自然変換はそのような 2 つの構成の間の「自然な準同型」を記述する。時に 2 つの全く違う構成が「同様の」結果をもたらすことがある。これは、2 つの関手間の自然同型 (natural isomorphism) にて表現される。 2 つの関手 F, G に対し、F から G への自然変換が存在して ηxC に含まれる全ての対象 x に対して同型射となるとき、この自然変換は自然同型 (naturally isomorphic) であるという。

高次圏

圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。

例えば、「二次元の圏」である双圏bicategory) もしくは 2-圏 (2-category)[注釈 3] は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」(2-cell) は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの合成則においては 2 次元の「交換則」(exchange law) が成り立つ。この最も標準的な例は Cat、つまり全ての(小さな)圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の自然変換が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏であるこれは(狭義)モノイド圏である。

この手法を任意の自然数 n で拡張し、n-圏n-categoryn 次圏)を定義することができる。さらに順序数 ω に対する ω-category と呼ばれる高次圏もある。このアイデアに関する堅苦しくない入門文献としてJohn Baez: The Tale of n-categoriesが挙げられる。

空間を圏で表す

(O, ≤) が順序集合のとき、これを次のような圏 CO と同一視することができる:obj(CO) = O とし、p, q O = obj(CO) について pq のとき、およびそのときに限り p から q への射がただ 1 つ存在する、として CO における射を定める。ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。

G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。

これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。トポスの概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。

歴史

1945年サミュエル・アイレンベルグソーンダース・マックレーンによる、代数的位相幾何学において直感的/組み合わせ的に定義されていたホモロジーコホモロジーを公理化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。アイレンベルグとマックレーンの目的は、位相空間の理論と可換群の理論のような異なる数学的体系の間の自然変換を理解することだったが、そのためには関手の概念が必要であり、関手を定義するためには圏の概念が必要だったのである。

その後アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた。

注釈

  1. 和訳: 三好博之訳『圏論の基礎』丸善出版
  2. この目的でz記法の太いセミコロン (U+2A1F) が用意されている
  3. これら語法にはやや注意が必要である。通常双圏には定義に現れる等式的公理において、等号の代わりに同型に緩めた条件を課す。厳密に等式として成り立つものは「厳密な 2-圏」と言う。2-圏がどちらの意味であるかは文脈による。より高次の圏ではさらに状況が面倒である(どの等号を同型に緩めるかで定義の数は組合せ爆発する)。 などを参照。

出典

  1. Eilenberg, S.; Mac Lane, S. (sep. 1945), “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of The American Mathematical Society 58 (2): 231-294, doi:10.2307/1990284
  2. Barr & Wells 2005, Chapter 1.
  3. Awodey 2006, Definition 1.12.
  4. Weibel 1994, Definition A.1.1.
  5. Borceux 1994, Definition 1.2.1.

参考文献

  • Awodey, Steve (2006). Category theory. Oxford University Press. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001. https://books.google.com/books?id=IK_sIDI2TCwC
  • Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, 12 (revised ed.), MR2178101, http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html.
  • Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. 1. Basic category theory.. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1. Zbl 0803.18001. https://books.google.com/books?id=YfzImoopB-IC
  • Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43500-5. Zbl 0797.18001. https://books.google.com/books?id=flm-dBXfZ_gC

外部リンク

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