反数

反数(はんすう、: opposite)とは、あるに対し、足す0 になる数である。つまり、ある数 a に対して、

a + b = b + a = 0

となるような数 ba反数といい、a と表す。記号「」を負号と呼び、「マイナス a」と読む。また、ab の反数であるともいえる。0加法における単位元であるから、反数は加法における逆元である。このような加法における逆元は加法逆元(かほうぎゃくげん、: additive inverse)と呼ばれる。

ある数にある数の反数を足すことを「引く」といい、減法 a b を以下のように定義する。

a b := a + (b).

a 引く b(b is subtracted from a) または「a マイナス b(a minus b) と読む。反数に使われる「」(負号)と引き算に使われる「」(減算記号)をあわせて「マイナス記号」と呼ぶ。 また、反数を与える 単項演算子と見なすことができ、単項マイナス演算子 (unary minus operator) と呼ばれる。一方、減算を表す演算子としての は、項を 2 つとるの二項演算子なので、二項マイナス演算子 (binary minus operator) と呼ばれる。

乗法において反数に相当するものは逆数、あるいはより一般には乗法逆元 (multiplicative inverse) と呼ばれる。整数有理数実数複素数においては、逆数は必ずしも存在しないが、反数は必ず存在する。ただし、0 を含まない自然数においては反数は常に存在しない。

反数の概念はそのままベクトルに拡張することができ、反ベクトル(はんベクトル、: opposite vector)と呼ばれる。ベクトルの加法における単位元はゼロ・ベクトルであり、あるベクトル v に足すと 0 を与えるベクトル wv反ベクトルという。

v + w = 0.

これを満たすベクトル wv と表される。またこのとき vw の反ベクトル w でもある。

性質

  • ある数とその反数を足すと 0 になる: a + (a) = 0.
  • ある数の反数の反数は、元の数である: (a) = a.
  • 0 からある数を引いた結果はその数の反数を与える: 0 a = a.
  • 0 の反数は、0 である: 0 = 0.
  • 元の数と反数が等しいのは 0 のみである: a = a ならば a = 0.
  • ある数に −1 を掛けた結果はその数の反数を与える: a × (1) = (1) × a = a.
  • 和の反数は反数の和に等しい: (a + b) = (a) + (b).

  • 整数 3 の反数は 3 である。
  • 小数 5.6 の反数は 5.6 である。
  • 分数 2/3 の反数は 2/3 である。これはまた、2/32/3 に等しい。
  • 複素数 1 + 7i の反数は 1 7i である(i虚数単位と呼ばれ、i2 = 1 を満たす)。

関連項目

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