十六元数

抽象代数学における十六元数(じゅうろくげんすう、: sedenion)は、全体として実数R16次元の(双線型な乗法を持つベクトル空間という意味での)非結合的分配多元環を成す代数的な対象で、その全体はしばしば S で表される。八元数ケーリー=ディクソンの構成法を使って得られる対合的二次代数である。

「十六元数」という用語は、他の十六次元代数構造、例えば四元数の複製二つのテンソル積や実数体上の四次正方行列環などに対しても用いられ、Smith (1995) で調べられている。

算術

ケーリーの八元数と同様に十六元数の乗法は可換でも結合的でもない。そして、ケーリーの八元数環 O と明確に違うことに、十六元数の全体 S交代代数にもならない。十六元数についていえることは冪結合性を持っているということである。これは S の元 x に対して、冪 xn矛盾なく定義可能で、それらが柔軟であることを意味する。

任意の十六元数は、R-ベクトル空間としての S基底を成す16個の単位十六元数 e0 = 1, e1, e2, e3, …, e15 の実係数線型結合になっている。

十六元数は乗法に関する単位元を持ち、多くの元がその逆元を持つが、多元体とはならない。これは零因子の存在による。つまり、それ自体は零ではないが掛けると零になるような十六元数の組があるのだが、簡単な例としては (e3 + e10) × (e6e15) などを挙げることができる。十六元数からケーリー=ディクソンの構成法を元にして作られるどの超複素数系も零因子を含む。

単位十六元数の乗積表は次のようなものである。

基底の乗積表
×1e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12e13e14e15
1 1e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12e13e14 e15
e1 e11e3e2e5e4e7e6e9e8e11e10e13e12e15e14
e2 e2e31e1e6e7e4e5e10e11e8e9e14e15e12e13
e3 e3e2e11e7e6e5e4e11e10e9e8e15e14e13e12
e4 e4e5e6e71e1e2e3e12e13e14e15e8e9e10e11
e5 e5e4e7e6e11e3e2e13e12e15e14e9e8e11e10
e6 e6e7e4e5e2e31e1e14e15e12e13e10e11e8e9
e7 e7e6e5e4e3e2e11e15e14e13e12e11e10e9e8
e8 e8e9e10e11e12e13e14e151e1e2e3e4e5e6e7
e9 e9e8e11e10e13e12e15e14e11e3e2e5e4e7e6
e10 e10e11e8e9e14e15e12e13e2e31e1e6e7e4e5
e11 e11e10e9e8e15e14e13e12e3e2e11e7e6e5e4
e12 e12e13e14e15e8e9e10e11e4e5e6e71e1e2e3
e13 e13e12e15e14e9e8e11e10e5e4e7e6e11e3e2
e14 e14e15e12e13e10e11e8e9e6e7e4e5e2e31e1
e15 e15e14e13e12e11e10e9e8e7e6e5e4e3e2e11

一般の十六元数の積は基底における乗法を(分配法則が成り立つように)線型に拡張することで得られる。

十六元数の全体 S は共軛元をとる主対合

によってノルム

の定まる二次代数 (S, N) であるが、これはノルムが乗法的でない。

応用

Moreno (1998) はノルム 1 の十六元数からなる掛けて 0 となる対の全体が、例外型リー群 G2 のコンパクト型に同型であることを示した。

関連項目

参考文献

  • Imaeda, K.; Imaeda, M. (2000), “Sedenions: algebra and analysis”, Applied mathematics and computation 115 (2): 77–88, doi:10.1016/S0096-3003(99)00140-X, MR1786945
  • Kinyon, M.K., Phillips, J.D., Vojtěchovský, P.: C-loops: Extensions and constructions, Journal of Algebra and its Applications 6 (2007), no. 1, 1–20.
  • Kivunge, Benard M. and Smith, Jonathan D. H: "Subloops of sedenions", Comment.Math.Univ.Carolinae 45,2 (2004)295–302.
  • Moreno, Guillermo (1998), “The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers”, Sociedad Matemática Mexicana. Boletí n. Tercera Serie 4 (1): 13–28, arXiv:q-alg/9710013, MR1625585
  • Smith, Jonathan D. H. (1995), “A left loop on the 15-sphere”, Journal of Algebra 176 (1): 128–138, doi:10.1006/jabr.1995.1237, MR1345298


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