冪零群

群論における冪零群(べきれいぐん、: nilpotent group)は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらに超可解でさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者セルゲイ・チェルニコフの業績に帰せられる[1]

冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。

冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、(導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて)リー環の理論においても用いられる(冪零リー環の項を参照)。

定義

考えている群が冪零であるとは、以下の同値な条件の何れか(したがってすべて)を満足するときに言う:

  • 有限の長さの中心列を持つ。それはすなわち、正規部分群からなる有限の系列
    であって、Gi+1/Gi Z(G/Gi) あるいは同じことだが [G, Gi+1] Gi となるものである。
  • 降中心列が有限の長さで自明群に到達する。すなわち、G0 := G および Gi+1 := [Gi, G] によって定まる正規部分群の系列で
    とできる。
  • 昇中心列が有限の長さでもとの群に到達する。すなわち、Z0 := {1} および Zi+1Zi+1/Zi = Z(G/Zi) なる G の部分群と定めるとき、得られる正規部分群の系列で
    とできる。

冪零群 G に対して、G が長さ n の中心列を持つとき(定義により、長さ n を持つとは中心列に自明群と G 自身を含めて n + 1 個の部分群が並ぶときに言う)、そのような n の最小値を G冪零度 (nilpotency class; 冪零性の等級) と呼び、また G は冪零度 n の冪零群であるという。G の冪零度は、降中心列または昇中心列を用いても同じ値が定められる。[注釈 1]

冪零度を上記のどの仕方で定義したとしても、直ちにわかることに「自明群が冪零度零の唯一の群である」ことおよび「冪零度 1 の群は非自明なアーベル群である」ことが挙げられる[2][3]

よく知られた冪零群の例である離散ハイゼンベルク群ケイリーグラフの一部
  • 既に述べたように、任意のアーベル群は冪零である[2][4]
  • 小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル p-群である四元数群 Q8 を挙げることができる。その中心は位数 2{1, 1} であり、昇中心列 {1}, {1, 1}, Q8 が得られるから、これは冪零度 2 の例ということになる。
  • 実は任意の有限 p-群が冪零である。位数 pnp-群に対し、最大の冪零度は n - 1 である。冪零度最大の 2-群は、四元数群二面体群あるいは半二面体群の一般化と考えられる。
  • 二つの冪零群の直積はまた冪零である[5]
  • 逆に、任意の有限冪零群は p-群の直積になる[6]
  • ハイゼンベルク群は非アーベル[7]無限冪零群の例である[8]
  • 任意の F 上の n-次冪単行列単上三角行列)全体の成す乗法群は、冪零度 n 1冪零(代数)群である。
  • F 上の n-次正則上三角行列全体の成す乗法群は一般には冪零群でない(が、可解群ではある)。

用語の説明

冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が冪零となることによる。つまり、冪零度 n の冪零群に対して、その元 g の定める作用

g, x に依らずn反復合成で自明となる(ここで、[g, x] := g1x1gxg, x交換子である)。

これは冪零群を定義可能な特徴づけとはなっていない。実際、(既にみたように冪零度 n の)随伴作用素 adg 全体の成す群は n-次エンゲル群[注釈 2]と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され、有限生成ならば冪零であろうと予想されている。

アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの(1-次エンゲル群)になっている。

性質

昇中心列の連続する部分群による各剰余群 Zi+1/Zi はアーベル群であり、かつ列は有限であるから、任意の冪零群は比較的単純な構造を持つ可解群である。

冪零度 n の冪零群の任意の部分群は、冪零度高々 n である[9]。加えて、f が冪零度 n の冪零群上の準同型ならば、f の像は冪零度高々 n の冪零群になる[9]

有限群に対して以下は同値[10]であり、冪零性の有効性が顕わになる:

  • (a) G は冪零群である。
  • (b) 正規化性質: HG の真の部分群ならば、H は(HG における)正規化群 NG の真の正規部分群になる。
  • (c) G の任意のシロー部分群は正規部分群である。
  • (d) G はそのシロー部分群直積である。

最後の性質 (d) は無限群の場合にも拡張することができる:

命題
G が冪零群ならば、G の任意のシロー p-部分群 Gp は正規であり、それらシロー部分群の直積は G における位数有限な元全体の成す部分群に一致する。

冪零群の性質の多くは超中心群と共通している。

注釈

  1. 冪零度高々 m の冪零群を、nil-m groupm-乗零群)と呼ぶこともある
  2. この呼び名に関して、冪零リー環の表現に関するエンゲルの定理を想起せよ
  3. これは p-群に対するのと同じ論法単に GG/Z(G) がともに冪零となるという事実だけあればよいゆえ、詳細は省略する

出典

  1. Dixon, M. R.; Kirichenko, V. V.; Kurdachenko, L. A.; Otal, J.; Semko, N. N.; Shemetkov, L. A.; Subbotin, I. Ya. (2012). “S. N. Chernikov and the development of infinite group theory”. Algebra and Discrete Mathematics 13 (2): 169–208.
  2. Suprunenko 1976, p. 205.
  3. Tabachnikova & Smith 2000, p. 169.
  4. Hungerford 1974, p. 100.
  5. Zassenhaus 1999, p. 143.
  6. Zassenhaus 1999, p. 143, Theorem 11.
  7. von Haeseler 2002, p. 15.
  8. Palmer 1994, p. 1283.
  9. Bechtell 1971, p. 51, Theorem 5.1.3.
  10. Isaacs 2008, Thm. 1.26.

参考文献

  • Bechtell, Homer (1971). The theory of groups. Addison-Wesley
  • Hungerford, Thomas Gordon (1974). Algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9. https://books.google.com/books?id=t6N_tOQhafoC
  • Isaacs, I. Martin (2008). Finite group theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3
  • Palmer, Theodore W. (1994). Banach algebras and the general theory of *-algebras. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0. https://books.google.com/books?id=zn-iZNNTb-AC
  • Suprunenko, D. A. (1976). Matrix Groups. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2. https://books.google.com/books?id=cTtuPOj5h10C
  • Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Topics in Group Theory. Springer Undergraduate Mathematics Series. Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2. https://books.google.com/books?id=DD0TW28WjfQC
  • von Haeseler, Friedrich (2002). Automatic Sequences. De Gruyter Expositions in Mathematics. 36. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6. https://books.google.com/books?id=wmh7tc6uGosC
  • Zassenhaus, Hans (1999). The theory of groups. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8. https://books.google.com/books?id=eCBK6tj7_vAC

関連文献

  • Stammbach, Urs (1973). Homology in group theory. Lecture Notes in Mathematics. 359. New York: Springer-Verlag: review

外部リンク

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