円分体

円分体 (えんぶんたい、: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の 乗根 を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、 とする。

性質

  • 3 以上の整数 m に対して、円分体 拡大次数 は、 である。但し、オイラー関数である。
  • 任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
  • 3 以上の整数 m に対して、 ( は、相異なる素数素因数分解すると、
は、合成体であり、
が成立する。また、円分体 で分岐する有理素数[注釈 1]は、 に限る。
  • である。この を、最大実部分体または実円分体という。
  • 一意分解整域である円分体 )[注釈 2]は、m = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 だけである。
  • 特に、23 以上の素数 p に対して、円分体 は一意分解整域ではない。
  • 類数が 2 である円分体 ) は、m = 39, 56 だけである。
  • 円分体 に含まれる代数的整数の集合は、 である。

円分体の判別式

m を 3 以上の整数とし、円分体 とする。

(1) m が素数のとき

K判別式は、 である。

(2) (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき

K の判別式は、 である。但し、

(3) ( は相異なる素数、 のとき

を、円分体 の判別式としたとき、 K の判別式は、

である。

アーベル拡大体の埋め込み

クロネッカー=ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)

K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 が存在して、

例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー=ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー=ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

円分体と初等整数論

フェルマーの最終定理

素数 p に対して、

の左辺を、 上で分解すると、

となる。 ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、 のとき、それが成立しないことを示した。 そのため、 (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。

  • 素数 p は、円分体 類数を割り切らない。

正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

クンマーの補題

素数 p が正則素数であれば、円分体 の単数 ε を、 となる有理整数 a が存在するようにとると、 の単数 が存在して、 と表される。

正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。

平方剰余の相互法則

ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則第1補充法則第2補充法則を示した[注釈 3]。さらに、 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。 高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

円分体の類数

円分体の類数の性質

以下において、p を奇素数とする。

円分体 の類数を 、最大実部分体 の類数を とすると、 ( は有理整数)と表すことができる。 このとき、第1因子または相対類数第2因子または実類数という。

第1因子については、以下の様な性質がある。

  • 素数 p に対して、p を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。
つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。
この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。
  • 素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、 が、 を割り切る様な整数 k が存在することである。
  • が奇数であるならば、 は奇数である。

クンマーは、第1因子の増大度に対して、 と予想した。 但し、[注釈 4]

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。

第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

  • q を素数とし、 とする。 が素数であるならば、 である。

ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である[2]

円分体の類数公式

円分体の類数を求めるには、 より、第1因子と第2因子を求めればよい。[注釈 5]

  • 第1因子
ここで、
S は、 を満たす、法 m に関する指標の集合とする。
特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
m が素数のとき、以下の様な式がある。
ここで、η は、1 の原始 乗根とし、
但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、 に対して、 は、 を満たす正整数とする。
  • p の倍数ではない整数 r に対して、 を、 を満たすようにとる。
また、 を、 を満たすようにとる。
[注釈 6]とおくと、
である。
  • 第2因子
ここで、R は、単数基準T は、 を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。
特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。
ここで、η は、1 の原始 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。
m が素数のとき、以下の様な式がある。
  • に対して、 [注釈 7] とおく。
g を法 p に関する原始根とし、 とおく。
また、σ を、 を満たす、 の生成元とする。
とおくと、
但し、R は、の単数基準とする。

脚注

注釈

  1. 有理整数である素数のこと。
  2. としたとき、 であるので、 としてよい。
  3. この証明は、ガウスによる4番目の証明である。(1805年8月30日に証明)[1]
  4. が成立するので、ディリクレのL関数の積が 1 に収束することと同値である。
  5. 実際は、円分体に対して、直接類数公式で求めるのが普通である。
  6. マイレ(Maillet)の行列という。
  7. δk は、 の正の実数である単数であり、クンマー単数または円単数と呼ばれる。

出典

参考文献

  • 足立恒雄『フェルマーの大定理 整数論の源流』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 ア24‐1 Math & Science〉、2006年9月。ISBN 978-4-480-09012-6。
  • ガウス, J. C. F.『ガウス数論論文集』高瀬正仁訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫 カ33-1 Math & Science〉、2012年7月。ISBN 978-4-480-09474-2。
  • ガウス, J. C. F.『ガウスの《数学日記》』高瀬正仁訳、日本評論社、2013年8月。ISBN 978-4-535-78584-7。
  • 河田敬義『数論 古典数論から類体論へ』岩波書店、東京、1992年4月。ISBN 978-4-00-005516-1。
  • 倉田令二朗『平方剰余の相互法則 ガウスの全証明』日本評論社、東京、1992年10月。ISBN 978-4-535-78192-4。
  • 高木貞治『代数的整数論』岩波書店、東京、1971年4月、第2版。ISBN 978-4-00-005630-4。
  • 高瀬正仁『ガウスの数論 わたしのガウス』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 タ31-2〉、2011年3月。ISBN 978-4-480-09366-0。
  • ノイキルヒ, J.『代数的整数論』足立恒雄(監修)、梅垣敦紀訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年12月。ISBN 978-4-431-70901-5。
    • ノイキルヒ, J.『代数的整数論』足立恒雄(監修)、梅垣敦紀訳、丸善出版、東京、2012年9月。ISBN 978-4-621-06287-6。
  • ボレビッチ, Z. I.、シャハレビッチ, I. R.『整数論』(下)、佐々木義雄訳、吉岡書店〈数学叢書〉、京都、1972年。
    • ボレビッチ, Z. I.、シャハレビッチ, I. R.『整数論』(下)、佐々木義雄訳、吉岡書店〈数学叢書 19〉、京都、2000年8月、POD版。ISBN 978-4-8427-0287-2。
  • リーベンボイム, P.『フェルマーの最終定理 13講』吾郷博顕訳、共立出版、東京、第2版。ISBN 978-4-320-01415-2。
  • Masley, J. M. (1975), “Solution of the class number two problem for cyclotomic fields”, Invent. Math. 28: 243-244, MR369319 Zbl 0296.12003 doi:10.1007/BF01425560

関連項目

外部リンク

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