倍数

数学において、数 a倍数(ばいすう、:multiple)とは、a整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、

3a, 2a , a, 0, a, 2a, 3a, …

を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。

a を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a約数(「a を割り切る整数」)と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。

倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、

0, ±a, ±2a, ±3a, …

と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は(正の)倍数として

a, 2a, 3a, …

だけを考えることも多い。

整数全体からなる集合 を用いると、a の倍数は である。

整数の倍数
番号 01020304050607080910
01の倍数 01020304050607080910
02の倍数 02040608101214161820
03の倍数 03060912151821242730
04の倍数 04081216202428323640
05の倍数 05101520253035404550
06の倍数 06121824303642485460
07の倍数 07142128354249566370
08の倍数 08162432404856647280
09の倍数 09182736455463728190
10の倍数 102030405060708090100
  • 2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …
  • 3 の倍数は 0, ±3, ±6, ±9, ±12, …
  • 121, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
    • 12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であることによる。

数学的性質

整数に関する性質

  • 0 だけ倍数の個数が有限(0 のみ)である。(したがって 0 の倍数を考えることはあまり意味がない)
  • 0 は全ての数の倍数である。
  • 全ての数は自分自身の倍数である。
  • 全ての整数は 11 の倍数である。
  • 偶数とは 2 の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数ので表せる数」とも定義できるが、この定義は 2 の倍数であることと同値である。
  • a が整数のとき、Na の倍数であることは、aN約数であることと同じ意味である。
  • 整数 a, b に対して、ba で割り切れることと、b の倍数が a の倍数に含まれることは同値である。すなわち、
  • 2 以上の整数はある素数の倍数である。
  • 素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。
(→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ
  • a の倍数かつ b の倍数であるものを ab公倍数という(3個以上の場合でも同様)。abab の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
    • ab の公倍数は ab の最小公倍数の倍数である。
  • a の倍数の倍数は a の倍数である。
  • P, Q が 共に a の倍数ならば、kP + lQk, l は整数)は共に a の倍数である。
    • 特に、P ± Qa の倍数である
  • 有理整数環 二項関係 で定義すると、これは同値関係になる。

倍数判定法

様々なN進法における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。

  • 一の位の数で判定
    一の位がMであればMの倍数、という方法。
  • 各桁の和(数字和)で判定
    一桁の最後の数(10-1)の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば10-1の倍数、という方法。六進数での5の倍数、九進数での(2、4、)8の倍数、十進数での(3、)9の倍数、十六進数での(3、5、)15の倍数など。
  • 下P桁で判定
    下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数…、という方法。
  • 11が合成数の場合
    11となる数が合成数の場合、二桁数abがあれば a-b または b-a の差が11の約数Mになっている場合に、Mの倍数となる、という方法。例:八進数での9(= 118)の倍数(32 = 11)、二十進数での3の倍数と7の倍数(3×7 = 11)など。
  • 一の位をa倍
    乗算表の二桁数abから逆算して、一の位bをa倍する方法。十進数における7の倍数(7×3 = 21)、十二進数における5の倍数(5×5 = 21)、十六進数における11の倍数(3×B = 21)など。
    乗算表の最後の数{(10-1)2 = a1}の場合は、一の位をa倍して、「整数第二位以上」と「一の位をa倍」の差をa1で割って余りが0になればa1の倍数、という方法。十進数での34 = 81の倍数など。
  • 「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算
    「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算し、その和をMで割って余りが0ならばMの倍数、という方法。六進数での15(1110)の倍数、十進数での35 = 243 の倍数など。

素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。

とりわけ、六進数十進数では、素因数2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 32+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである(その上に10の素因数も複数ある)。例えば、23×32×5 = 1400(6) = 360(10)の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類(1400, 3200, 5000, 10400…)、十進数だと「一の位が0、整数第二位~第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計2510種類(360, 720, 1080, 1440…)となる。

十進数での例

十進数での倍数判定法がいくつか存在する。

  • 一の位が 2 の倍数(つまり 2, 4, 6, 8, 0)ならば、その数は 2 の倍数である。
  • 各桁の数の和(数字和)が 3 の倍数ならば、その数は 3 の倍数である。
  • 下(しも)二桁が 4 の倍数(つまり 04, 08, 12 … 92, 96, 00)ならば、その数は 4 の倍数である。
  • 一の位が 5 の倍数(つまり 5, 0)ならば、その数は 5 の倍数である。
  • 下三桁が 8 の倍数(つまり 008, 016, 024 … 984, 992, 000)ならば、その数は 8 の倍数である。
  • 数字和が 9 の倍数ならば、その数は 9 の倍数である。
  • 一の位が 0 ならば、その数は 10 の倍数である。
  • 下の桁から数えて奇数番目の位の総和と偶数番目の位の総和の差が 11 の倍数ならば、その数は 11 の倍数である。
  • 下四桁が 16 の倍数(つまり 0016, 0032, 0048 … 9968, 9984, 0000)ならば、その数は 16 の倍数である。
  • 下二桁が 25 の倍数(つまり 25, 50, 75, 00)ならば、その数は 25 の倍数である。
  • 一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0, 27, 54 のどれか、またはその差を81で割って余りが 0, 27, 54 のどれかであれば、その数は 27 の倍数である。
  • 一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 81 で割って余りが 0 であれば、その数は 81 の倍数である。
  • 下三桁が 125 の倍数(つまり 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000)ならば、その数は 125 の倍数である。

これら以外にも、先述の倍数判定法を組み合わせることによってあらゆる整数の倍数を判定することができる。いくつかの例を下に示す。

  • 2の倍数判定法と3の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 6 の倍数である。
  • 3の倍数判定法と5の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 15 の倍数である。
  • 4の倍数判定法と3の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 12 の倍数である。
  • 4の倍数判定法と5の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 20 の倍数である。
  • 4の倍数判定法と9の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 36 の倍数である。
  • 5の倍数判定法と27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 135 の倍数である。
  • 2の倍数判定法、3の倍数判定法、5の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 30 の倍数である。
  • 3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は240の倍数である。
  • 8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 792 の倍数である。

関連項目

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