一般化算術数列

数学における多重算術数列, 一般化算術数列(いっぱんかさんじゅつすうれつ、: generalized arithmetic progression)または多次元算術数列は、自然数からなる有限多重数列であって、各変数に対応する成分がどれも算術数列(公差はそれぞれで異なってよい)となるものを言う。そのような多重数列全体の成す集合を線型集合 (linear set) とも呼ぶ。

例えば、初項 173 の倍数または 5 の倍数を繰り返し加えたものは多重算術数列を成す。式で書けば、c, d1, d2, … は自然数の定数として、k1, k2, … は適当な範囲 0 ki < ni (i ni =: n) を動く自然数変数とするとき、

が有限多重算術数列である。取りうる添字の数 j をこの多重数列の次元 (dimension) と言う。

より一般に、集合 L = L(C; P)

なる形の Nn の元 x 全体の成す集合とする。L線型集合であるとは、C がただ一つの元からなり、かつ P が有限となるときに言う。

Nn の部分集合が半線型集合 (semilinear set) であるとは、それが有限個の線型集合の交わりに書けるときに言う。半線型集合の全体はちょうどプレスバーガー算術における定義可能 (definable) な集合の全体に一致する[1]

関連項目

  • フレイマンの定理

参考文献

  1. Ginsburg, Seymour; Spanier, Edwin Henry (1966). “Semigroups, Presburger Formulas, and Languages”. Pacific Journal of Mathematics 16: 285–296.
  • Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003

外部リンク

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