一般のライプニッツの法則

数学微分積分学において一般化されたライプニッツの法則 (generalized Leibniz rule), 一般のライプニッツの法則(いっぱんのライプニッツのほうそく、: general Leibniz rule[1]一般ライプニッツ則)あるいは単にライプニッツの法則は、積の法則(これもまたライプニッツの法則と呼ばれる)の一般化であり、fgn 回微分可能な関数とするとき、それらの積 fgn 階微分が

で与えられることを述べるものである。ここで 二項係数である。ドイツ哲学者数学者ゴットフリート・ライプニッツの名に因む。

この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明できる。

n = 1 のとき (積の微分法則)
n = 2 のとき
n = 3 のとき

各項の係数は二項定理と同様にパスカルの三角形から調べられる。

多因子版

f1, …, fmm 個の n 階微分可能函数のとき、

と書ける。 ただし、多項係数である。

多変数版

多重指数記法を使い、より一般に

の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、P, Q を(係数が十分多くの回数微分可能であるような)微分作用素とし、R := PQ とするとき、R もまた微分作用素であり、R の表象が で与えられるから、ここに直接計算によって

を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間にはの構造が入る。

関連項目

注釈

  1. Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Leibniz Identity". MathWorld (英語).
  • generalizations of the Leibniz rule - PlanetMath.(英語) / proof of generalized Leibniz rule - PlanetMath.(英語)
  • Leibniz's Rule at ProofWiki
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