一様多面体

一様多面体(いちようためんたい)とは、全ての構成面が正多角形で、かつ頂点の形状が全て合同な立体のことである。5種類の正多面体、4種類の星型正多面体、13種類の半正多面体、その他の53種類の一様多面体で総計75種類であることが、H.S.M.コクセターらによって確認され、後にJ.スキリングによって証明された。正角柱反角柱ミラーの立体などもこの条件を満たすが、一様多面体には含めないことが多い。

一様多面体の一覧

正多面体

画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状
正四面体 2 3
3, 3, 3
正六面体 2 4
4, 4, 4
正八面体 2 3
3, 3, 3, 3
正十二面体 2 5
5, 5, 5
正二十面体 2 3
3, 3, 3, 3, 3

半正多面体

画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状
切頂四面体 3
3, 6, 6
切頂六面体 4
3, 8, 8
切頂八面体 3
4, 6, 6
切頂十二面体 5
3, 10, 10
切頂二十面体 3
5, 6, 6
立方八面体 3 4
3, 4, 3, 4
二十・十二面体 3 5
3, 5, 3, 5
斜方立方八面体 2
3, 4, 4, 4
斜方二十・十二面体 2
3, 4, 5, 4
斜方切頂立方八面体
4, 6, 8
斜方切頂二十・十二面体
4, 6, 10
変形立方体 2 3 4
3, 3, 3, 3, 4
変形十二面体 2 3 5
3, 3, 3, 3, 5

星型正多面体

画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状
小星型十二面体 2 5/2
(5/2)5
大十二面体 2 5
(5,5,5,5,5)/2
大星型十二面体 2 5/2
(5/2)3
大二十面体 2 3
(3,3,3,3,3)/2

その他の一様多面体

画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状
八面半八面体 3
6, 3/2, 6, 3
四面半六面体 2
4, 3/2, 4, 3
小立方立方八面体 4
8, 3/2, 8, 4
大立方立方八面体 4/3
8/3, 3, 8/3, 4
立方半八面体 3
6, 4/3, 6, 4
立方切頂立方八面体
(立方八面切頂立方八面体)

8/3, 6, 8
一様大斜方立方八面体
(擬斜方立方八面体)
2
4, 3/2, 4, 4
小斜方六面体
4, 8, 4/3, 8
星型切頂六面体
(擬切頂六面体)
4/3
8/3, 8/3, 3
大切頂立方八面体
(擬切頂立方八面体)

8/3, 4, 6
大斜方六面体
4, 8/3, 4/3, 8/5
小二重三角二十・十二面体 5/2 3
(5/2, 3)3
小二十・二十・十二面体 3
6, 5/2, 6, 3
小変形二十・二十・十二面体 5/2 3 3
35, 5/2
小十二・二十・十二面体 5
10, 3/2, 10, 5
十二・十二面体 5/2 5
(5/2, 5)2
切頂大十二面体 5
10, 10, 5/2
斜方十二・十二面体 2
4, 5/2, 4, 5
小斜方十二面体
10, 4, 10/9, 4/3
変形十二・十二面体 2 5/2 5
3, 3, 5/2, 3, 5
二重三角十二・十二面体
(二重三角十二面体)
5/3 5
(5/3, 5)3
大二重三角十二・二十・十二面体 5/3
10/3, 3, 10/3, 5
小二重三角十二・二十・十二面体 5
10, 5/3, 10, 3
二十・十二・十二面体 3
6, 5/3, 6, 5
二十面切頂十二・十二面体
(二十・十二面切頂二十・十二面体)

10/3, 6, 10
変形二十・十二・十二面体 5/3 3 5
3, 3, 3, 5/3, 3 , 5
大二重三角二十・十二面体 3 5
(5, 3, 5, 3, 5, 3)/2
大二十・二十・十二面体 3
6, 3/2, 6, 5
小二十面半十二面体 5
10, 3/2, 10, 3
小十二・二十面体
10, 6, 10/9, 6/5
小十二面半十二面体 5
10, 5/4, 10, 5
大二十・十二面体 5/2 3
(5/2, 3)2
切頂大二十面体 3
6, 6, 5/2
斜方二十面体
6, 4, 6/5, 4/3
大変形二十・十二面体 2 5/2 3
34, 5/2
小星型切頂十二面体
(擬切頂小星型十二面体)
5/3
10/3, 10/3, 5
切頂十二・十二面体
(擬切頂十二・十二面体)

10/3, 4, 10
逆変形十二・十二面体 5/3 2 5
3, 5/3, 3, 3, 5
大十二・二十・十二面体 5/3
10/3, 5/2, 10/3, 3
小十二面半二十面体 3
6, 5/3, 6, 5/2
大十二・二十面体
6, 10/3, 6/5, 10/7
大変形十二・二十・十二面体 5/3 5/2 3
33, 5/3, 3, 5/2
大十二面半二十面体 3
6, 5/4, 6, 5
大星型切頂十二面体
(擬切頂大星型十二面体)
5/3
10/3, 10/3, 3
一様大斜方二十・十二面体
(擬斜方二十・十二面体)
2
4, 5/3, 4, 3
大切頂二十・十二面体
(大擬切頂二十・十二面体)

10/3, 4, 6
大逆変形二十・十二面体 5/3 2 3
34, 5/3
大十二面半十二面体 5/3
10/3, 5/3, 10/3, 5/2
大二十面半十二面体 5/3
10/3, 3/2, 10/3, 3
小反屈変形二十・二十・十二面体
(小逆反屈変形二十・二十・十二面体)
3/2 3/2 5/2
(35, 5/3)/2
大斜方十二面体
4, 10/3, 4/3, 10/7
大反屈変形二十・十二面体
(大逆反屈変形二十・十二面体)
3/2 5/3 2
(34, 5/2)/2
大二重斜方二十・十二面体 3/2 5/3 3 5/2
(4, 5/3, 4, 3, 4, 5/2, 4, 3/2)/2

条件は満たすが一様多面体に含まない多面体

以下は頂点形状が合同であるが、頂点に関する推移性を満たさないため、通常は一様多面体とみなさない。

以下の5つは無限系列として一様多面体に含めることがある(英語版Wikipediaではこの立場を取っている)。

関連項目

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