マグマ (数学)

抽象代数学におけるマグマ英語: magma)または亜群(あぐん、groupoid)は、演算によって定義される種類の基本的な代数的構造であり、集合 M とその上の二項演算 M × M M からなる組をいう。マグマ M における二項演算は M において閉じていることは要求するが、それ以外の何らの公理も課すものではない。

このような構造に対して「マグマ」という呼称を導入したのはニコラ・ブルバキである[* 1]。旧来はオイステイン・オアによる用語で亜群groupoid)と呼ばれていたもので、現在でもしばしばそのように呼ばれる。ただし、それとは別に圏論において「亜群groupoid)」と呼ばれる概念があるので、それと混同してはならない。

群に似た構造
全域性結合性単位的可逆的
YesYesYesYes
モノイド YesYesYesNo
半群 YesYesNoNo
ループ YesNoYesYes
準群 YesNoNoYes
マグマ YesNoNoNo
亜群 NoYesYesYes
NoYesYesNo

定義

マグマは集合 M と、M のどの二元 a, b に対しても μ(a, b) で表される別の元を対応させる二項演算 μ を対として考える。集合と演算の対 (M,μ) がマグマと呼ばれるためには、マグマの公理として知られる条件

  • 演算について閉じていること: M の任意の元 a, b に対して、その二項演算 μ の演算結果 μ(a, b) が再び M に属する。

を満足しなければならない。演算が明らかで紛れの虞の無いときは演算の記号を落として台集合の記号のみによってマグマ M などという。しばしば二項演算 μ はマグマ M における乗法とも呼ばれ、このときの演算結果 μ(a, b) はab とのという[* 2]。また、誤解の虞が無いならば積 μ(a, b) は演算記号を省略してしばしば ab と書かれる。演算記号が省略されている場合に、マグマが台集合と演算の対であることを明示するにはプレースホルダを用いて (M, ·) のように書かれる。

演算 μ偏演算(局所演算、部分演算)ならば、(M, μ) を局所マグマ(偏マグマ)という[* 3]

部分マグマ

マグマ (M, μ) に対し、台となる集合 M の部分集合 NM の演算 μ に関するマグマを成すならば、マグマ (N, μ) を M部分マグマsubmagma)という。

マグマ準同型

ふたつのマグマ (M, μ), (N, ν) の間の準同型写像magma morphism/homomorphism)またはマグマ準同型とは写像 f: M N であって、

なる意味でマグマの二項演算を保つものをいう。マグマ準同型 f: M N全単射ならば f逆写像 f1 N M もまたマグマ準同型であり、MN はマグマとして同じ構造を持つと考えられる。このとき、f(および f1)をマグマ同型写像magma isomorphism)またはマグマ同型と呼び、ふたつのマグマ MN は互いに同型isomorphic)であるという。

マグマ合同と剰余マグマ

マグマ (M, μ) と台集合 M 上の同値関係 が与えられているとき、同値関係 マグマ合同であるとは

が任意の x, y, u, v M に対して成り立つという意味でマグマ演算 μ と両立することをいう。 がマグマ合同であるとき、 による合同類の全体

に二項演算 μ'

とおくことにより矛盾なく定まり、(M/, μ') は再びマグマを成す。これをマグマ M のマグマ合同 による剰余マグマresidue class magma)、商マグマquotient magma)、因子マグマfactor magma)などと呼ぶ。

結合順序の組合せ論

一般の非結合的な場合のマグマ演算を繰り返し反復適用することを考え、演算を適用する対を表すのに括弧を用いる。演算を繰り返して得られた文字列は、マグマの元を表す記号と開閉の対応のとれた括弧からなるものとなる。対応のとれた括弧からなる可能な限りの文字列全体の成す集合はダイク言語と呼ばれる。マグマ演算を n-回適用して得られる相異なる文字列の総数はカタラン数 Cn で与えられる。したがって例えば、C2 = 2 であることから、マグマの三つの元に二回演算を適用するときの組合せは

(ab)c または a(bc)

のふた通りしかないことがわかる。

表記の簡略化のためしばしば括弧の数を減らすことが行われる。これは演算を適用する場所でだけ文字を併置することで実現される。たとえば、マグマ演算を中置記法 とすると、xy z が (x y) z の簡略表示である。さらなる簡略化は空白の挿入・抜取によるもので、例えば、xyz wv によって ((x y) z) (w v) が表せる。もちろん、もっと複雑な式に対しては、括弧の使用は不可避のものとなる。括弧の使用を完全に避ける方法としては、演算を中置記法で記すのではなく、前置記法後置記法によればよい。

自由マグマ

集合 X 上の自由マグマfree magma)とは集合 X から生成されるマグマのうち「可能な限り最も一般」なもの(つまり、元を生成するときに、生成された元の間に何の関係や公理も課さないという意味で自由なマグマ)をいう。これは、X字母集合としたとき、括弧を保った非結合的な語の集合とみなすこともできる。また、計算機科学でよく用いられる概念をつかえば、自由マグマは、葉ノードがそれぞれ X の元でラベル付けられた二分木全体の集合であると見ることもできる。この見方をするとき、マグマ演算は二つの木を根と根で結合する操作に対応する。したがって、これは構文論において基礎的な役割を演じる。

自由マグマのもつ「可能な限り最も一般」という性質(普遍性)は次のように表すことができる。

自由対象
集合 S から任意のマグマ M への写像 f: S M が与えられたとき、fS 上の自由マグマ FS から M へのマグマ準同型
に一意的に拡張される。

すなわち、任意のマグマはある自由マグマのマグマ準同型像(同じことだが剰余マグマ)にマグマ同型である。

マグマのクラス

マグマから群へ:
各頂点は
  • マグマ (magma)
  • 準群 (quasigroup)
  • 半群 (semigroup)
  • 擬群 (loop)
  • モノイド (monoid)
  • 群 (group)
各矢印は
  • 可除性 (divisibility)
  • 結合性 (associativity)
  • 単位元をもつ (identity)
  • 可逆性 (invertibility)
可除性も可逆性も消約性の成立を含意することに注意。

一般には、マグマをそのままマグマとして調べるということはまずあり得ず、代わりに(部分的なクラスに分けるために)マグマの二項演算に適当な公理を課した、いくつかの別な種類の代数系として調べることになる。よく知られたクラスの、特別な名前が付いている代数系としては

  • 準群 (quasi-group): でないマグマで除法が常にできるもの。逆マグマ。
  • 擬群 (loop): 単位元を持つ準群。単位的準群。
  • 半群: 演算が結合的なマグマ。結合マグマ。
  • モノイド: 単位元をもつ半群。単位的半群、結合擬群、単位的結合マグマ。
  • : 逆元を持つモノイド。逆結合擬群、結合準群。
  • アーベル群: 演算が可換な群。

といったようなものを挙げることができる。もちろん、特別な呼び方はなくとも、可換マグマや可換モノイドといったような代数系のクラスもしばしば扱われる。

更なる定義

マグマ M が、[* 4]

  • 単位的unital)であるとは、それが単位元を持つときにいう。
  • 中可換medial)であるとは、恒等式 (xy)(uz) = (xu)(yz) を満たすときにいう。
  • 左半中可換left semimedial)であるとは、恒等式 (xx)(yz) = (xy)(xz) を満たすときにいう。
  • 右半中可換right semimedial)であるとは、恒等式 (yz)(xx) = (yx)(zx) が満たされるときにいう。
  • 半中可換semimedial)であるとは、左中可換かつ右中可換であるときにいう。
  • 左分配的left distributive)であるとは、恒等式 x(yz) = (xy)(xz) を満たすときにいう。
  • 右分配的right distributive)であるとは、恒等式 (yz)x = (yx)(zx) が満足されるときにいう。
  • 両側分配的autodistributive)であるとは、左分配的かつ右分配的であるときにいう。
  • 可換commutative)であるとは、xy = yx なる恒等式が成立するときにいう。
  • 冪等idempotent)であるとは、xx = x が恒等的に成り立つときに言う。
  • 単冪unipotent)であるとは、恒等的に xx = yy となるときにいう。
  • 零冪zeropotent)であるとは、恒等式 (xx)y = y(xx) = xx が成立するときにいう。
  • 左交代的left-alternative)であるとは、恒等式 (xx)y = x(xy) が成立するときにいう。
  • 右交代的right-alternative)であるとは、恒等式 y(xx) = (yx)x が成立するときにいう。
  • 交代的alternative)であるとは、左交代的かつ右交代的であるときにいう。
  • 冪結合的power-associative)であるとは、その任意の元の生成する部分マグマが必ず結合的となるときにいう。
  • 左消約的left-cancellative)であるとは、等式 xy = xz から常に y = z が帰結できるときにいう。
  • 右消約的right-cancellative)であるとは、等式 yx = zx から y = z が常に帰結されるときにいう。
  • 消約的cancellative)であるとは、それが左消約的かつ右消約的となるときにいう。
  • 半群semigroup)または結合的associative)であるとは、x(yz) = (xy)z が恒等式であるときにいう。
  • 左零付き半群(semigroup with left zeros)であるとは、x = xy を恒等的に満足する元 x が存在するときにいう。
  • 右零付き半群(semigroup with right zeros)であるとは、x = yx が恒等的に成立するような元 x がとれるときにいう。
  • 零半群 semigroup with zero multiplication, null semigroup であるとは、恒等式 xy = uv を満たすときにいう。
  • left unar であるとは、恒等式 xy = xz が満足されるときにいう。
  • right unar であるとは、yx = zx なる恒等式が成立するときにいう。
  • trimedial であるとは、その任意の三元(必ずしも相異なる必要はない)が生成する部分マグマが中可換であるときにいう。
  • entropic であるとは、ある中可換消約マグマの準同型像となっているときにいう。

一般化

See 多項群.

関連項目

注記

  1. フランス語で "magma" は(複数の意味があるが)「ゴチャゴチャ」「支離滅裂」であるという意味である。フランスの数学者集団であるブルバキが「二項演算が定義されているだけの集合」にマグマと名づけて言及したのは、(群や環とは違い)そのような取り留めの無い広範な概念にどのような整理をつけて扱えばよいかわからないといったことが念頭にあってのことであろう。
  2. 数の乗法およびの用語を流用したものではあるが、一般にはそれらの概念と直接的な関係は無い。
  3. 写像ではなく、定義域と始域が一致しない部分写像(partial function)となっているような演算を偏演算(partial operation)という。"partial" には「部分」「偏」などの訳語が当てられることが多いが、これを「部分マグマ」とよぶと "submagma" と紛らわしい。(田村 1972) では「偏亜群」等
  4. 各訳語はおおかた (田村 1972) に従った。

参考文献

    • M. Hazewinkel (2001), “Magma”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/m/m110040.htm
    • M. Hazewinkel (2001), “Free magma”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/f/f110190.htm
    • Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld (英語).
    • 田村孝行『半群論』共立出版、1972年。

    外部リンク

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