ボホナー積分

数学におけるボホナー積分(ボホナーせきぶん、: Bochner integral)は、サロモン・ボホナーに名を因む、(単函数の積分の極限としての)ルベーグ積分バナッハ空間に値をとる函数への拡張である。

定義

(X,Σ,μ) を測度空間、B をバナッハ空間とする。ボホナー積分はルベーグ積分と殆ど同じ方法で定義される。X 上の B-値単函数 s は、完全加法族 Σ の互いに交わらない元の族 EiB の相異なる元 bi を使って

なる形の和に表される。ただし、χE は集合 E指示函数である。単函数 s をこの形に書くとき, bi が 0 でないような i では必ず μ(Ei) が有限値となるならば、この単函数 s可積分であるといい、その積分を

で定義することは通常のルベーグ積分と全く同じである。

可測函数 ƒ: X Bボホナー可積分であるとは、可積分な単函数列 sn

を満たすようなものが存在するときに言う。ここで左辺の積分は通常のルベーグ積分である。

このとき、ボホナー積分

と定義される。可測函数がボホナー可積分であるための必要十分条件は、それがボホナー空間 L1 に属することである。

性質

ルベーグ積分についてよく知られた性質の多くは、ボホナー積分に対しても引き続き成立する。おそらく最も著しい例はボホナーの可積分判定条件で、これは (X, Σ, μ) が有限測度空間ならばボホナー可測函数 ƒ: X B がボホナー可積分であるための必要十分条件が

であることを述べるものである。ただし、函数 ƒ: X B がボホナー可測であるとは、B の可分部分空間 B0 に値をとる函数 g で、B の任意の開集合 U の逆像 g1(U) が Σ に属するようなものを用いて、μ に関して殆ど至る所 f = g となるときにいう。つまり、ボホナー可測函数 ƒμ に関して殆ど至る所単函数列の極限になっている。

ボホナー積分に対しても優収斂定理の一種が成り立つ。具体的には、ƒn: X B が完備測度空間上の可測函数列で殆ど至る所 ƒ に収斂し、殆ど全ての x Xfn(x)B g(x) を満たす g L1(μ)が存在するならば、n とする極限で

および、任意の E Σ に対して

が成立する。

ƒ がボホナー可積分ならば不等式

が任意の E Σ に対して成立する。特に集合函数

μ に関して絶対連続X 上の可算加法的 B-値ベクトル測度を定める。

ラドンニコディム性

ボホナー積分に関してラドン–ニコディムの定理が一般には成立しないという重要な事実がある。これはバナッハ空間のラドンニコディム性として知られる重要な性質である。具体的に、μ を可測空間 (X, Σ) 上の測度とすると、Bμ に関するラドンニコディム性を持つとは、(X, Σ) 上の B に値をとる任意の有界変動かつ μ-絶対連続な可算加法的ベクトル測度 γ に対して、μ-可積分函数 g: X B を任意の可測集合 E Σ に対して満たすものが存在することをいう[1]

バナッハ空間 Bラドンニコディム性を持つとは、B が任意の有限測度に関してラドンニコディム性を持つときに言う。l1 はラドンニコディム性を持ち、c0Rn の有界開領域 Ω に対する L(Ω), L1(Ω) および C(Ω) はラドン=ニコディム性を持たないことが知られている。ラドンニコディム性を持つ空間には、可分な双対空間(ダンフォード–ペティスの定理)や回帰的バナッハ空間(特にヒルベルト空間)などがある。

関連項目

脚注

  1. The Radon-Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces, Diómedes Bárcenas, Divulgaciones Matemáticas Vol. 11 No. 1(2003), (pp. 55–59), pp. 55-56

参考文献

  • Bochner, Salomon (1933), “Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind”, Fundamenta Mathematicae 20: 262–276, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20127.pdf
  • Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5
  • Diestel, J.; Uhl, J. J. (1977), Vector measures, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1515-1
  • Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Functional Analysis and Semi-Groups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1031-6
  • Lang, Serge (1969), Real analysis, Addison-wesley, ISBN 0-201-04172-3 (now published by springer Verlag)
  • Sobolev, V. I. (2001), “Bochner integral”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/B/b016710.htm
  • van Dulst, D. (2001), “Vector measures”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/V/v096490.htm
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