ブール関数

ブール関数(ブールかんすう、: Boolean function)は、非負整数 k 個のブール領域 B の引数をとり、1個のブール領域の値となる関数 f : Bk B である。k = 0 では、単に定数 B となる。

ブール関数を一般化すると、f : X B という形式の関数において、X が任意の集合である場合を「ブール値関数」と呼ぶ。X = M = {1, 2, 3, } であるとき、f は無限の「二値数列; binary sequence」すなわち 0 と 1 の無限である。X = [k] = {1, 2, 3, , k} であるとき、f は長さ k の二値数列である。そのような関数は 個存在する。これは計算複雑性理論における問題で基本的な役割を果たす。

効率的表現

命題論理の)論理式で表現できるが、効率的な表現としては次のようなものがある。

簡単化

簡単な表現に変換する手法として次のようなものがある。

  • カット・アンド・トライ法
ブール代数の定義を用い、効率的な表現に変形していく。
  • ベン図
ベン図を用いて視覚的にわかりやすい表現にする。

以上は人間の直感によるものであり「変換する手法」と言えたものではない。

  • カルノー図法
カルノー図を用い、効率的な表現に変形していく。
  • クワイン・マクラスキー法
クワイン・マクラスキー法を用い、効率的な表現に変形していく。計算機で簡単化するのに適している。

標準形

選言標準形連言標準形が代表的である。他に、リード-マラー標準形などがある。

リード-マラー標準形

リード-マラー標準形(en:Algebraic normal form)は、積(AND)の排他的論理和(XOR)による標準形である。

ここで である。

従って、列 の値の列もブール関数を一意に表している。ブール関数の代数的次数は、1つの(AND)項に現われる の個数で表される。つまり、 の次数は 1(線形)であり、 の次数は 3(立方)である。

関連項目

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