ノーム (数学)

数学の分野、特に楕円函数論において、ノーム (nome) とは、次式によって与えられる特殊函数のことである。

ここに KiK 1/4周期(quarter period)であり、ω1ω2周期の基本ペア(fundamental pair of periods)である。記号としては、1/4周期 K と iK  は通常、ヤコビの楕円函数(Jacobian elliptic functions)の文脈においてのみ用いられるが、1/2周期 ω1ω2ヴァイエルシュトラスの楕円函数の文脈においてのみ用いられる。ω1ω2 を1/2周期というより全体の周期を表すために使うアポストル(Apostol)のような著者も居る。

ノームは楕円函数やモジュラ函数が表す値として頻繁に使われる。その一方で、1/4周期が楕円モジュラスの函数であることから、函数として考えることもある。楕円モジュラス、1/4周期、従ってノームの実数値が一意に決まることから、この曖昧さが起きる。

函数 τ = iK /K = ω1/ω2 は、楕円函数の 2つの1/2周期の比なので、1/2周期比(half-period ratio)と呼ばれることもある。

補ノーム(complementary nome) q1 は、

で与えられる。

ノームに関連するさらなる定義や関係については、1/2周期(quarter period)や楕円積分(elliptic integral)を参照すること。

参考文献

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. OCLC 1097832 . See sections 16.27.4 and 17.3.17. 1972 edition: ISBN 0-486-61272-4
  • Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
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