デデキントのイータ関数

デデキントのイータ関数 (: Dedekind Eta function) は次のような式で定義される関数である[1]

ヤコビの三重積の公式により、

となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

極と零点

であればであるから、

である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、が有理数であればであるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

テータ関数との関係

イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて

である。また、

である。

モジュラー変換

テータ関数虚数変換式により

であるが、が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、

である。また、

であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。

実際、モジュラー判別式の定数倍と一致する[2]

関数等式

イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c 0 のとき、ある1の24乗根 について関数等式

が成り立つ。

により求められる[3]。ここでデデキント和

をあらわす。

出典

  1. Wolfram Mathworld: Dedekind Eta Function
  2. Apostol (1990, pp. 50-51, Chapter 3.3)
  3. Apostol (1990, pp. 51-53, Chapter 3.4)


参考文献

  • Tom M. Apostol, (1990). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (Graduate Texts in Math. 41), 2nd ed.. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0999-7. ISBN 978-1-4612-0999-7
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