ゾーン多面体

ゾーン多面体(ゾーンためんたい、: Zonohedron)とは、三次元の凸多面体において、向かいあった同士が全て平行になっている偶数多角形のみで構成されている立体である。平行な辺を共有する隣り合う面を辿っていくと立体を一周する帯(ゾーン)が見て取れることが、この名前の由来である。コクセターはゾーン多面体の理論はロシアの偉大な結晶学者フェドロフによる、と述べている。[1]

主なものでは、

正多面体(プラトンの立体)からは、

半正多面体(アルキメデスの立体)からは、

があげられる。そのほか、

や各種菱形多面体もゾーン多面体である。渡辺泰成と別宮利昭は、正多面体や半正多面体、あるいはそれらの複合多面体をもとに、重心から頂点への基本ベクトルを用いて16次元立方体の三次元投影図形までの各種ゾーン多面体を構成した。[2]

平行多面体

平行多面体 (Parallelohedra) とは、ゾーン多面体のうち単独で平行移動のみによる空間充填が可能な立体のことであり、以下の5種類しかないことをロシアの結晶学E.S.フェドロフが1885年に証明した。[3]

平行多面体5種による空間充填

1933年にロシアの数学者ドロネーはより簡単なアプローチでこれを証明した。コクセターH.S.ホワイトの投影図法に基づいて、1つの交点に交わる直線は3本以下で、1本の直線上の交点の数は3以下という条件を導き、フェドロフの5種類に証明を与えた。

黄金ゾーン多面体

黄金菱形ゾーン多面体5種による非周期的空間充填

表面に対角線比が黄金比の菱形のみをもつ等面菱形多面体は次の5種類であり、コクセターはこれを黄金等稜ゾーン多面体と呼んだ。

  • 尖った菱形六面体
  • 平たい菱形六面体

以上の5種類の菱形多面体のみで空間を非周期的に充填することができる。その二次元投影図はペンローズ・タイルと呼ばれ、3種類がある。

第二黄金ゾーン多面体

対角線比が第二黄金比1:2.618の菱形と白銀比1:1.414の菱形の2種類をもつ菱形多面体には、

面の数が6,12,20,30,42,56,72,90のものがあり、それぞれは三次元から十次元までの立方体の三次元投影図形の外殻となってる。[4]

ポーラーゾーン多面体

コクセターは、任意の偶数正角柱あるいは奇数正反角柱の重心と天面の各頂点、重心と底面の各頂点を結ぶベクトルの組を両極として、菱形面のみから構成されるゾーン多面体をポーラーゾーン多面体と呼んだ。角柱の天地面を正n角形とすると、一つの極の周りをn枚の等しい菱形のセットが取り巻き、つぎに別のn枚の菱形のセットが取り巻くというようにして、合計n-1セットの菱形の側面が反対の極に至るまで埋めることになる。この族のホワイト・コクセターダイヤグラムは、n角形の各辺を両方に延長した直線による星形を示す。

このポーラーゾーン多面体の場合の極を2n角形面に置き換えると、角柱の側面を2枚の2m(m≦n)角形と複数の菱形で取り囲んだプリズムゾーン多面体とでも呼ぶべき一連のゾーン多面体の族となる。菱形面の枚数は、側面の2m角形が天地面の2n角形と頂点を共有する場合は2mn枚、側面の2m角形が天地面の2n角形と辺を共有する場合は2(m-1)(n-1)枚である。 ホワイト・コクセターダイヤグラムは、前者はm本の扇とn本の扇による交差を、後者はm本の扇とn本の扇が1本の直線を共有する交差を示す。

ゾーン多面体と高次元立方体

三次元空間のゾーン多面体は、高次元の立方体を三次元空間に投影して得られる図形のうちの特定のものの外殻と一致する。このことを最初に論じたのは、コクセターの『正多胞体』である。その中で彼は、1934年に敷物商・ドンチャン(Paul S. Donchan) が発表した四次元多胞体の三次元投影模型から着想を得たことを模型の写真とともに紹介している。[5] またコクセターは、ゾーン多面体のゾーンの数を数えるための実用的な方法は、任意の頂点から反対側の頂点(対蹠点)へ移動するために必要な最小の辺数を数えることであることを示した(1962年)。[6]

ホワイトとコクセターのダイヤグラムでは、ゾーンを直線であらわし、p本の直線が交わる交点は2p角形面を示す。q本の線分及び半直線で仕切られる領域はq価の頂点を表す。そのさい同一直線上にある2つの半直線は1つの線分と同価とみなす。以下の表には、6次までのすべてのゾーン多面体の類型を示し、7次以降は代表的なもののみを示した。

ゾーン多面体 投影図 辺数 平行な辺の

グループ数

対応する

高次元

立方体の次数

ホワイト・コクセター

ダイヤグラム

面数 頂点数
平行六面体 12 4本組×3 3 四角形6枚 3価8
六角柱 18 4本組×3

6本組×1

4 六角形2枚

四角形6枚

3価12
菱形十二面体 24 6本組×4 4 四角形12枚 3価8

4価6

八角柱 24 4本組×4

8本組×1

5 八角形2枚

四角形8枚

3価16
長菱形十二面体 28 4本組×1

6本組×4

5 六角形4枚

四角形8枚

3価16

4価2

菱形二十面体 40 8本組×5 5 四角形20枚 3価10

4価10

5価2

菱形十二面四・六角柱 34 6本組×3

8本組×2

5 六角形2枚

四角形14枚

3価12

4価8

十角柱 30 4本組×5

10本組×1

6 十角形2枚

四角形10枚

3価20
菱形十二面八・六角柱 38 4本組×1

6本組×3

8本組×2

6 八角形2枚

六角形2枚

四角形12枚

3価20

4価4

菱形十六面八・四角柱 44 6本組×4

10本組×2

6 八角形2枚

四角形18枚

3価16

4価10

菱形十八面六・六角柱 48 8本組×6 6 六角形4枚

四角形18枚

3価16

4価12

菱形二十四面六角柱 54 8本組×3

10本組×3

6 六角形2枚

四角形24枚

3価18

4価6

5価6

切頂八面体 36 6本組×6 6 六角形8枚

四角形6枚

3価24
極菱形三十面体 60 10本組×6 6 四角形30枚 3価12

4価18

6価2

ホワイト菱形三十面体B 60 10本組×6 6 四角形30枚 3価12

4価16

5価4

ホワイト菱形三十面体C 60 10本組×6 6 四角形30枚 3価14

4価12

5価6

菱形三十面体 60 10本組×6 6 四角形30枚 3価20

5価12

長菱形三十面体 72 8本組×1

10本組×4

12本組×2

7 六角形4枚

四角形30枚

3価24

4価8

5価8

切稜立方体 48 6本組×4

8本組×3

7 六角形12枚

四角形6枚

3価32
長切稜立方体 60 6本組×2

8本組×6

8 八角形2枚

六角形12枚

四角形8枚

3価40
長々菱形三十面体 84 8本組×2

10本組×2

12本組×4

8 八角形2枚

六角形4枚

四角形32枚

3価28

4価16

5価4

大菱形立方八面体 72 8本組×9 9 八角形6枚

六角形8枚

四角形12枚

3価48
大菱形四十二面体 96 8本組×3

12本組×6

9 八角形6枚

四角形36枚

3価32

4価24

小菱形切頂八面体 120 12本組×10 10 六角形20枚

四角形30枚

3価48

4価24

菱形九十面体 180 18本組×10 10 四角形90枚 3価60

5価12

6価20

菱形五十面十二・十二角柱 124 4本組×1

12本組×10

11 十二角形4枚

四角形50枚

3価40

4価32

菱形百二面体 216 18本組×12 12 八角形6枚

四角形96枚

3価72

4価24

6価20

菱形百三十二面体


264 22本組×12 12

四角形132枚 3価56

4価48

5価24

8価6




3価48

4価54

5価24

6価8

大菱形切頂八面体 156 12本組×13 13 八角形18枚

六角形8枚

四角形30枚

3価104
極菱形百八十二面体 364 26本組×13 14 四角形182枚 3価28

4価154

14価2

大菱形二十・十二面体 180 12本組×15 15 十角形12枚

六角形20枚

四角形30枚

3価120
大菱形九十面体 240 10本組×6

18本組×10

16 八角形30枚

四角形60枚

3価140

5価12

脚注

  1. Regular Polytopes. Dover Publications, Inc. (1973)
  2. Y. Watanabe, T. Betsumiya Derivation of Some Equilateral Zonohedra and Star Zonohedra, Research of pattern formation(1994)
  3. Symmetry of crystals. American Crystallographic Association. (1971)
  4. 4次元図形百科. 丸善出版株式会社. (2020/1/31)
  5. REGULAR POLYTOPES. Dover Publications, Inc. (1973(1947初版))
  6. The beauty of geometry. Dover publications, Inc.. (2020). p. p.59

関連項目

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Zonohedron". MathWorld (英語).
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