0 (מספר)

0 (מספר שלם)
כתיב עשרוני 0
במילים אפס
מספר סודר ---
גימטריה ---
גורמים ראשוניים ---
כתיב רומי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N } [1]
כתיב בינארי 0
כתיב הקסדצימלי 0

אפס הוא המספר השלם שבא לפני 1 ואחרי -1. אפס הוא המספר הסידורי הקטן ביותר, וכמציין כמות הוא מתייחס למספר האיברים בקבוצה הריקה.

היסטוריה של האפס

בשיטת הסימון הרומית אין סימון מיוחד לאפס, והוא מבוטא בהיעדר כל סימון. המחסור בסימן מיוחד עבור האפס עיכב את התפתחותה של שיטת הסימון העשרונית, המקובלת היום.

מקורה של הקצאת סימן מיוחד לאפס בהודו של המאה ה-6. במקורו נקרא האפס "סוּניה" - מילה הינדית שפירושה "ריק" - ה-0 ייצג את העמודה הריקה בחשבונייה. ההכרה באפשרות לסמן עמודה ריקה איפשרה להודים להמציא את השיטה העשרונית, שבה האפס מבדיל בין מספר כגון שלושים ואחת (31) ושלושת-אלפים ועשר (3010). כ-200 שנים אחר כך, סימנו הערבים את הספרה הזו באמצעות עיגול ריק וקראו לו "סיפְר" (שוב, מילה שפירושה "ריק"). עם הזמן הפך ה"סיפר" הערבי ל-"zero" המערבי, וכך הוא נקרא עד היום. המילה העברית 'אפס' מופיעה כבר בתנ"ך, במובן של "אַיִן" כמו בפסוק "ויאמר המלך, האפס עוד איש לבית שאול, ואעשה עמו, חסד אלקים" (ספר שמואל ב', פרק ט', פסוק ג') או במשמעות של מילה נרדפת ל"אך" כמו בפסוק "אפס כי עז" (ספר במדבר, פרק י"ג, פסוק כ"ח). בימי הביניים השתמשו המתמטיקאים היהודים במילה סיפרא לציון האפס.

מן ההודים הגיע האפס לכתביו של המתמטיקאי והפילוסוף הפרסי בן המאה התשיעית, אל ח'ואריזמי, ורק במאה ה-11 הגיע דרך אנדלוסיה לאירופה. בתפקיד דומה מופיע האפס גם בתרבויות אמריקאיות קדומות, כמו זו של בני המאיה.

האפס במתמטיקה

מלבד תפקידו של הסימן לספרת האפס בשיטות הספירה הפוזיציוניות, למספר אפס יש תפקידים רבים במתמטיקה. במספרים הסודרים, הקבוצה הריקה משמשת בסיס לבניית המספרים הטבעיים, באמצעות ההגדרות . מספרים אלה מצטרפים לכדי מערכת פאנו של המספרים הטבעיים במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל. בדומה לזה, אפס הוא העוצמה של הקבוצה הריקה.

במערכות אלגבריות כמו שדות או חוגים, ובפרט במספרים הרציונליים ובמספרים השלמים, איבר האפס הוא האיבר הנייטרלי ביחס לחיבור (איבר האפס), כלומר, האיבר z המקיים את התנאי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a+z=a} לכל a. באנליזה מפריד האפס בין שני סוגי מספרים: כל מספר גדול ממנו הוא מספר חיובי, וכל מספר קטן ממנו הוא מספר שלילי.

פעולות באפס

מתכונת הנייטרליות של המספר אפס נובעת ההרסנות של האפס בכפל: . משום כך לא ניתן להגדיר את ההפכי של אפס כמספר ממשי: אילו היינו מסכימים ש- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ b = \frac{1}{0}} הוא מספר ממשי, היה צריך להתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1 = b \cdot 0 =0} , וזה בלתי אפשרי. בהקשרים אחרים (גאומטריים ואנליטיים) אפשר להסכים שהחילוק באפס מניב אינסוף (עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{0} = \infty} ); הוספת האינסוף למערכת המספרים מקלקלת את מרבית התכונות שלה, ולכן מקובל יותר לומר שהחילוק באפס אינו מוגדר.

לפיכך, התוצאה של חילוק אפס באפס אינה מוגדרת, משום שכל מספר מקיים את התנאי הנדרש מתוצאת הפעולה. באנליזה של סדרות ממשיות אפשר לחקור את הגבול של תהליך שבו מתקרבים המונה והמכנה לאפס בעת ובעונה אחת. דוגמה אחת לתהליך כזה היא הגבול של sin(x)/x; קל למצוא דוגמאות שבהן מתקבל כל ערך שהוא, לרבות כל מספר ממשי, אפס, אינסוף, מינוס אינסוף, או אפילו הגבול איננו קיים כלל כגון .

מוסכם כי ערכה של מכפלה ריקה (שאין בה גורמים כלל) הוא 1, משום שהוספת קבוצה ריקה של גורמים למכפלה אחרת אינה משנה את ערכה, בדיוק כמו הכפל ב-1. משום כך נקבע כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^0=1} לכל מספר שונה מאפס x, וקביעה זו עקבית עם כללי החזקות הרגילים, כגון . לעומת זאת, משמעות הביטוי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, 0^0} תלויה בהקשר. בקומבינטוריקה נוח להגדיר את ערך הביטוי כ-1 (בהתאם להגדרת החזקה של עוצמות בתור העוצמה של קבוצת פונקציות מתאימה), ובאנליזה הביטוי בדרך-כלל אינו מוגדר (משום שלכל מספר חיובי, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^0=1} , בעוד ש- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0^x=0} ).

מאותן סיבות נקבע כי ערכה של פונקציית העצרת של אפס הוא 1 (עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0!=1} ). הסדר הריק (שאינו כולל אף מרכיב) הוא הדרך היחידה לסדר את אברי הקבוצה הריקה.

ראו גם

לקריאה נוספת

  • צ'ארלס זייף, אפס - ביוגרפיה של רעיון מסוכן, מי-אן, 2003

קישורים חיצוניים

    הערות שוליים

    1. קיצור המילה nihil או nullus (כלום, שום דבר); בימי הביניים, לאחר שהגיע מושג האפס לתרבות המערב, נעשה לעיתים שימוש בקיצור זה.
    מספרים טבעיים
    0123456789
    10111213141516171819
    20212223242526272829
    30313233343536373839
    40414243444546474849
    50515253
    60    70    80    90    100    200    300    400    500
    1,000   2,000    10,000    100,000    600,000    1,000,000
    אחרים
    שמות מספרים | ...0.999 | 666 | 1089 | 1729 | קבוע קפרקר | גוגול | גוגולפלקס | מספר גרהאם
    הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
    רישיון cc-by-sa 3.0
    This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.