תלות לינארית

באלגברה לינארית, קבוצת וקטורים במרחב וקטורי תלויה לינארית אם אפשר להציג אחד מן הווקטורים שלה כצירוף לינארי של וקטורים אחרים בקבוצה.

למשל, שלושת הווקטורים ב־ בלתי־תלויים לינארית, אולם הם וקטורים תלויים לינארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).

הגדרה

יהי מרחב לינארי מעל שדה . אם וקטורים ב־ , נאמר שהם תלויים לינארית מעל אם ישנם סקלרים (לא כולם אפסים) עבורם

האפס שבאגף ימין הוא וקטור האפס של ולא סקלר האפס של . אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי בלתי־תלויים לינארית, או בקיצור בת"ל.

מכאן נובע כי הווקטורים הם בלתי תלויים לינארית אם ורק אם מן השוויון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1\vec{v}_1+\cdots+a_n\vec{v}_n=\vec0} נובע בהכרח כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_i=0} לכל .

המרחב המוקרן על ידי תלות לינארית

תלות לינארית בין וקטורים היא וקטור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_1,\ldots,a_n)} עם סקלרים (לא כולם אפסים) עבורם

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1\vec{v}_1+\cdots+a_n\vec{v}_n=\vec0}

אם קיימת תלות כזו, הווקטורים הם תלויים לינארית. כיוון שמכפלה בסקלר של מקדמי התלות נותנת מקדמים של תלות לינארית, ומכיוון שסכום של מקדמי תלויות נותן גם הוא מקדמים של תלות לינארית, הרי נובע שקבוצת כל התלויות הלינאריות בין הווקטורים יחד עם וקטור האפס היא מרחב וקטורי, שהוא תת־מרחב של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Bbb F^n} .

דוגמאות

דוגמה א'

הווקטורים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1,1),(-3,2)} ב־ הם בלתי־תלויים לינארית.

הוכחה: יהיו שני מספרים ממשיים כך שמתקיים

נמצא כי .

דוגמה ב'

יהי . נסתכל על הווקטורים הבאים ב־ :

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\vec{e}_1&=(1,0,\ldots,0)\\\vec{e}_2&=(0,1,\ldots,0)\\\vdots&\\\vec{e}_n&=(0,0,\ldots,1)\end{align}}

אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n} בלתי־תלויים לינארית.

הוכחה:

נתבונן בקבוצת סקלרים עבורם מתקיים

מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_i=0} לכל .

ראו גם

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.