תורת לנדאו

תורת לנדאו היא תאוריה פיזיקלית הנותנת תיאור איכותי למעברי פאזה. תאוריה זו, שנהגתה על ידי לב לנדאו בשנת 1937, היא תאוריה פנומנולוגית הבוחנת מערכות בהן ישנו תהליך של שבירת סימטריה ספונטנית ביחס לפרמטר סדר כלשהו ומנסה לתת תיאור איכותי לתהליך זה.

התאוריה הבסיסית ופרמטר הסדר

פרמטר סדר הוא מדד המייצג את מידת הסדר באזור מעבר הפאזה. במערכת בה יש סימטריה ביחס לפרמטר הסדר ערכו של פרמטר הסדר נע בין אפס עבור הפאזה המתקבלת בטמפרטורות גבוהות (בהן אי הסדר גדול יותר) לערך שונה מאפס בפאזה המתקבלת בטמפרטורות נמוכות. ערכו של פרמטר הסדר יכול להיות מיוצג בדרכים שונות ביניהן סקלר, מספר מרוכב, וקטור וטנזור, כאשר ייצוג פרמטר הסדר תלוי במערכת המדוברת ובסוג מעבר הפאזה. דוגמה מייצגת עבור פרמטר הסדר היא המגנטיזציה במערכת פרומגנטית בסמוך לטמפרטורת קירי.

לנדאו הציע שכאשר מערכת מסוימת נמצאת בטמפרטורה הקרובה לטמפרטורה הקריטית ניתן יהיה לתאר את האנרגיה החופשית של המערכת כטור טיילור בפרמטר הסדר, כאשר בהיעדר שדה מסדר (כלומר כאשר המערכת סימטרית ביחס לפרמטר הסדר) הטור יכלול רק חזקות זוגיות של פרמטר הסדר ומכיוון שקרוב לטמפרטורה הקריטית פרמטר הסדר קטן, ניתן להסתכל רק על האיברים הראשונים בטור:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(m,t)=a(t)+\frac{b(t)}{2}m^2+\frac{c(t)}{4}m^4+\frac{d(t)}{6}m^6 }

כאשר , עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |t|<<1} , היא האנרגיה החופשית, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} הוא פרמטר הסדר, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} היא הטמפרטורה, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_c} היא הטמפרטורה הקריטית ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c,d} הם פרמטרים התלויים במערכת. במצב של שיווי משקל האנרגיה החופשית מינימלית ולכן נוכל למצוא את על ידי מציאת נקודות המינימום של המשוואה.

מעבר פאזה רציף

עבור מודל זה ההנחה של לנדאו הייתה שערכו של הוא קבוע חיובי וש- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(t)} פרופורציונלי ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} , כלומר:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=b_0 t\qquad c=c_o }

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_0} ו- קבועים חיוביים.

בעקבות הנחה זו מתקבל כי המינימום הגלובלי של האנרגיה החופשית מתקבל בנקודות (כאשר האיבר מוזנח):

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |m|=\begin{cases} 0 & t\ge0 \\ (\frac{b_0 |t|}{c_0})^{1/2} & t<0 \end{cases}}

ניתן לראות מהתוצאה הנ"ל כי פרמטר הסדר משתנה בצורה רציפה אך לא גזירה בטמפרטורה הקריטית ולכן מודל זה מתאר מעבר פאזה מסדר שני. מסקנה נוספת המתקבלת מהפיתוח הנ"ל היא כי האקספוננט הקריטי הוא ללא תלות בפרמטרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_0, b_0} , כלומר ישנה אוניברסליות המצביעה על כך שישנה מחלקה של מערכות בעלות אותה התנהגות קריטית למרות ההבדלים המבניים ביניהן. יש לשים לב כי תורת לנדאו מניחה כי ישנו רק רכיב אחד לפרמטר הסדר וכן מתעלמת ממספר הממדים של המערכת ולכן נותנת תיאור של מספר מערכות מצומצם יחסית.[1]

מעבר פאזה לא רציף

מעבר פאזה מסוג שונה מתקבל כאשר ההנחה היא כי משנה סימן כאשר שאר האיברים חיוביים (מניחים כי הוא פונקציה יורדת בטמפרטורה אך הוא מתאפס בטמפרטורה נמוכה יותר מ- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} ). עבור מקרה זה מקבלים פרמטר סדר ספונטני:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^2_{\pm}=\frac{-3c\pm 3 \sqrt{c^2-16bd/3}}{4d}}

כאשר על מנת שהפתרון יהיה אפשרי נדרש כי וכי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c^2>\frac{16bd}{3}} , כלומר הטמפרטורה הקריטית מתקבלת מהתנאי:

עבור ערך זה נקבל כי מעט מתחת לטמפרטורה הקריטית:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^2_{\pm}=\frac{-3c(T_c)}{4d}\ne 0}

כלומר ישנה קפיצה פתאומית בפרמטר הסדר מאפס לערך סופי, מעבר פאזה מסוג זה נקרא מעבר פאזה לא רציף וזהו מעבר פאזה מסדר ראשון.

קשר לא מקומי

כאשר ישנם תנודות מרחביות בשדה המגנטי תורת לנדאו הסטנדרטית אינה מספיקה והיא מוכללת לתאוריה כללית יותר בעזרת מתן תלות מרחבית לפרמטר הסדר, כלומר . במצב זה מתייחסים לפרמטר הסדר כפונקציה חלקה במרחב, ניתן לעשות זאת מכיוון שלרוב לתנודות קצרות תווך ישנה עלות אנרגטית גבוהה, ולכן הן נדירות ביותר. המסקנה היא כי השתנות פרמטר הסדר נגרמת בעיקר מקשרים לא מקומיים. בהקבלה לתורה הסטנדרטית האנרגיה החופשית היא:

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(\boldsymbol{r})} הוא שדה מגנטי חיצוני וכעת נוסף איבר הגרדיאנט של פרמטר הסדר הלוקח בחשבון את הגדלת האנרגיה החופשית בעקבות ההשתנות המרחבית של פרמטר הסדר. כדי למצוא את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(\boldsymbol{r})} הממזער את האנרגיה החופשית יש לדרוש שהנגזרת הפונקציונאלית של תקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta G=0} לכן נקבל:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta G(m(\boldsymbol{r}),T)=\int{\left\{-h(\boldsymbol{r})\delta m(\boldsymbol{r})+b(T) m(\boldsymbol{r})\delta m(\boldsymbol{r})+c(T)m^3(\boldsymbol{r})\delta m(\boldsymbol{r})+...+f\nabla m(\boldsymbol{r})\nabla \delta m(\boldsymbol{r})\right\}}d\boldsymbol{r}}

בעזרת אינטגרציה בחלקים ושימוש בכך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta m(\boldsymbol{r})=0} בשפת המערכת מתקבלת המשוואה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta G(m(\boldsymbol{r}),T)=\int{\left\{-h(\boldsymbol{r})\delta m(\boldsymbol{r})+b(T) m(\boldsymbol{r})\delta m(\boldsymbol{r})+c(T)m^3(\boldsymbol{r})\delta m(\boldsymbol{r})+...-f\nabla^2 m(\boldsymbol{r}) \delta m(\boldsymbol{r})\right\}}d\boldsymbol{r}}

מכיוון שמשוואה זו נכונה לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta m(\boldsymbol{r})} נקבל מהתנאי על הנגזרת הפונקציונאלית של האנרגיה החופשית את משוואת גינזבורג-לנדאו:

כאשר עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(r)=0} נקבל כצפוי את תאוריית לנדאו הסטנדרטית.

פרמטר סדר בעל מספר פרמטרים

במקרים רבים פרמטר סדר סקלרי אינו מספיק כדי לתאר מערכת פיזיקלית. למשל, עבור נוֹזְלוּת-על של הליום-4 וכן עבור מוליכי על נדרש פרמטר סדר בעל שני רכיבים (המיוצג על ידי מספר מרוכב), מודל פוץ (potts model) מסדר דורש רכיבים ובגבישים נוזליים פרמטר הסדר מיוצג על ידי טנזור סימטרי וחסר עקבה[2].

בדומה למקרה הסקלרי, הדרישה במקרה זה היא כי האנרגיה החופשית בהיעדר שדה מסדר תשמור על הסימטריה של הבעיה המקורית. כאשר פרמטר הסדר הוא וקטורי וישנה סימטריה ביחס לכיוון הווקטור, נדרש שהאנרגיה החופשית תהיה תלויה רק בגודלו של הווקטור. כלומר ניתן להציב:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^2=\sum_{k=1}^N m_k^2 }

כאשר הוא הרכיב ה-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} של פרמטר הסדר ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} הוא מספר הרכיבים. עבור פרמטר סדר טנזורי האנרגיה החופשית תתואר על ידי גדלים הנשמרים תחת טרנספורמציות למערכת הצירים. מכיוון שעקבה של מטריצה נשמרת תחת טרנספורמציות כאלו, נהוג לתאר את האנרגיה החופשית באמצעות[2]:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Tr(Q^2)=\sum_{\alpha, \beta} Q_{\alpha \beta}Q_{\beta\alpha} }

עבור פרמטר סדר בעל מספר פרמטרים, מציאת מצב שיווי המשקל תתבצע על ידי מינימיזציה של האנרגיה החופשית ביחס לכל הפרמטרים של פרמטר הסדר.

ראו גם

לקריאה נוספת

הערות שוליים

  1. R.K Pathria & Paul D. Beale, Statistical Mechanics 3rd Ed. ch 12.9
  2. 1 2 Plischke ,Michael, Birger Bergersen(1994). Equilibrium statistical physics. 2nd ed. Singapore, World Scientific p.107-109.
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.