רוטור (מתמטיקה)

רוטור (Rotor) או קרל (Curl) הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת (לא לפי שינוי בזמן אלא לפי כיוון וגודל הווקטורים). הרוטור של שדה וקטורי הוא בעצמו שדה וקטורי.

במערכת צירים קרטזית, ניתן לכתוב את האופרטור בתור הדטרמיננטה של המטריצה הבאה:

פיתוח הדטרמיננטה לפי ההגדרה הפורמלית (כסכום מתחלף של מכפלות על אלכסונים מוכללים) נותן את הנוסחה המפורשת

הפעלת פעולת הרוטור פעמיים ברצף נקראת רוטוריאן.

משמעות אינטואיטיבית

נדמה את השדה הווקטורי כמתאר מהירות מים בכל נקודה בנהר ונקשור לנקודה מסוימת בנהר כדור קטן. אם הזרימה בנהר אחידה, לא יקרה דבר לכדור (הוא ירצה לרדת במורד הזרם אך הוא קשור לנקודה). לעומת זאת, אם מהירות המים עולה ככל שמתרחקים מהגדה, הכדור יתחיל להסתחרר. זאת משום שהמים בצד הכדור הקרוב יותר לגדה דוחפים את הכדור לאט יותר מהמים בצדו השני של הכדור, ולכן יווצר כוח שיתחיל לסחרר את הכדור. כיוון הרוטור יהיה ציר הסיבוב (בהתאם לחוק יד ימין), והמהירות הזוויתית של הכדור תהיה לינארית בגודלו.

כדוגמה, עבור נהר שזורם בכיוון ותחום בין גדה אחת בישר וגדה שנייה בישר ניקח את שדה הזרימה בנהר להיות

נשים לב ששדה זה מתאפס בגדות הנהר והולך ומתחזק ככל שמתקרבים למרכז. נחשב את הרוטור של השדה: עבור נקודה במרכז הנהר, ונקבל שהרוטור מתאפס: זאת משום שנקודה במרכז הנהר מרגישה אותם כוחות משני צדיה ולכן לא מסתחררת לאף כיוון.

בשאר הנקודות נקבל שהרוטור מצביע בכיוון זאת משום שציר הסיבוב יהיה מאונך לקרקעית הנהר במקרה זה. אם היינו מסתכלים על אבן טבועה בנהר עם שדה זרימה שונה, היא הייתה עלולה להסתובב עם צירי סיבוב שונים.

בדוגמה שלנו נראה שעבור נקודות שקרובות לקצה העליון של הנהר () נקבל שהרוטור מצביע בכיוון החיובי, משום שהמים במרכז הנהר החזקים מסובבים יותר חזק מהמים קרוב לגדה, ולכן הכדור יסתחרר נגד כיוון השעון. עבור נקודות הקרובות לקצה התחתון של הנהר, המצב הוא הפוך ולכן נקבל סחרור עם כיוון השעון, דבר שמתאים לרוטור המצביע בכיוון .

בנוסף, קרוב למרכז הנהר השינויים במהירות המים לא גדולים כמו השינויים במהירות קרוב לקצה, ולכן מהירות הסיבוב של הכדור תגדל ככל שמתקרבים לקצה. דבר זה בא לידי ביטוי בכך שהגודל של הרוטור, גדל ככל שקרבים לקצה.

רוטור במערכות קואורדינטות נוספות

קואורדינטות גליליות

קואורדינטות כדוריות

דוגמאות לשימוש ברוטור

  • הרוטור מופיע גם בגרסאות הקלאסיות של משפט סטוקס, משפט בעל חשיבות רבה באנליזה וקטורית.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.