קואורדינטות

מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם

קוֹאוֹרְדִינַטוֹתעברית: שיעורים) הן קבוצת מספרים המציינת את מיקומו של גוף במרחב כלשהו. מערכת הקואורדינטות (או מערכת הצירים) שנקבעת כדי לתאר את המרחב היא שרירותית לחלוטין, אם כי בדרך כלל יש מספר מערכות קואורדינטות טבעיות שבהן נוח במיוחד לתאר מרחבים מסוימים.

קואורדינטות גאוגרפיות

ערך מורחב – קואורדינטות גאוגרפיות

בגאוגרפיה, ובפרט בטופוגרפיה, קואורדינטה היא מיקומה המדויק של נקודה על מפה שמורכבת מקווי אורך ורוחב. יש לציין שלמרות שקווי האורך והרוחב יוצרים רשת שהיא שתי וערב (מערכת אורתוגונלית) לא מדובר בקואורדינטות קרטזיות בגלל העקמומיות של פני כדור הארץ.

הנקודה מורכבת משני חלקים:

  • קואורדינטה – מייצגת את קו הרוחב שבמפה.
  • קואורדינטה – מייצגת את קו האורך שבמפה.

באמצעות הקואורדינטות ניתן למצוא נקודה כלשהי על המפה (הנקודה שמחפשים מייצגת בדרך כלל מיקום של מקום שאותו אנו רוצים למצוא).

קואורדינטות יכולות להיות גם ביותר משני ממדים. למשל, בשלושה ממדים, הנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b,c)} מורכבת משלושה חלקים:

  • – קו הרוחב.
  • – קו האורך.
  • – הגובה.

לעיתים משתמשים במפות טופוגרפיות ברשת קואורדינטות שתי וערב שרירותית, שלא מבוססת על קווי אורך ורוחב.

קואורדינטות במתמטיקה

במתמטיקה, ובייחוד בגאומטריה יישומית, וכן בפיזיקה ובהנדסה, קואורדינטות או מערכת צירים היא מערכת בה לכל נקודה במרחב n-ממדי מותאמת קבוצה (סדורה) של מספרים (ברוב המקרים מדובר במספרים ממשיים, אך זה תלוי בהקשר). באופן פורמלי יותר, מערכת קואורדינטות על תחום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} היא קבוצה (סדורה) של פונקציות חלקות (כאשר הוא ממד המרחב) מ־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} אל הממשיים, כלומר:

או מנקודת מבט של אנליזה וקטורית,

כך שהתאמה זו מהווה דיפאומורפיזם בין עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} לתת־תחום ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^n} .

אם המרחב הוא יריעה, ובפרט יריעה עקומה, לא תמיד ניתן למצוא מערכת קואורדינטות שתכסה באופן חלק את כל המרחב (אולם ניתן למצוא קבוצת מערכות קואורדינטות המכסות חלקים מהיריעה, שאפשר להדביק אותן באופן חלק באזורי החפיפה ביניהם). חבורות לי עוסקות, בין השאר, בקשר שבין מערכות הקואורדינטות בנקודות שונות של אותה יריעה.

במרחב אוקלידי, מערכת הקואורדינטות הבסיסית והטבעית ביותר היא קואורדינטות קרטזיות שמהווה גם בסיס לינארי אורתונורמלי. זוהי מערכת הצירים הפשוטה והשימושית ביותר. במרחב אוקלידי ־ממדי, כל נקודה מתוארת באמצעות וקטור בעל רכיבים (במונחי תורת הקבוצות מדובר ב־n-יה סדורה של מספרים ממשיים), כאשר החיבור והכפל בסקלר מתבצעים רכיב־רכיב,

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu(a_1,\ldots,a_n)+\lambda(b_1,\ldots,b_n)=(\mu a_1+\lambda b_1,\ldots,\mu a_n+\lambda b_n)}

והמכפלה הפנימית היא המכפלה הסקלרית הסטנדרטית:

במערכת זו, וקטורי הבסיס הם מערכת אורתונורמלית קבועה שאיננה תלויה במיקום הנקודה במרחב. לכן אפשר להעתיק במערכת זו כל וקטור בצורה מקבילה לראשית. במרחבים כלליים יותר (ובפרט במרחבים עקומים) תכונה זו לא בהכרח נכונה.

התמרת קואורדינטות

למרות שכל מערכת קואורדינטות תקנית היא שימושית עבור חישובים נומריים במרחב נתון, המרחב עצמו קיים בנפרד מהקואורדינטות. למעשה, הקואורדינטות מהוות רק תיאור מסוים (ובמידה מסוימת, שרירותי) של המרחב, וישנן תכונות של המרחב שאינן תלויות במערכת הקואורדינטות שנבחרה לתאר אותו, תכונות אלה נקראות אינווריאנטים של המרחב והדרישה לשימורן במשוואות המערבות וקטורים וגדלים הקשורים למרחב מוליכה לעקרון הקו-ואריאנטיות ולפיתוחו של חשבון הטנזורים. בגישה המקובלת, מתייחסים להתמרת קואורדינטות כאל טרנספורמציה פסיבית. כלומר: איננו משנים את העצמים עצמם, אלא רק את הצורה (או הבסיס) שבה מתארים אותם.

יהי מרחב וקטורי (אזי הוא בפרט תחום או יריעה) ונניח שבנינו מעליו 2 מערכות קואורדינטות שונות: . למעשה, לכל נקודה (או וקטור) במרחב יש לנו שתי הצגות שונות. כל הצגה תלויה בבחירת הבסיס. נניח שאנו רוצים לעבור מהצגה אחת לשנייה. יהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v\in V} , אזי

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\hat{e}_{(i)}\}_{i=1}^n,\{\hat{f}_{(j)}\}_{j=1}^n} הם שני בסיסים שונים למרחב הווקטורי. נרשום את מטריצת המעבר ביניהם, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} , באמצעות רכיביה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{e}_{(i)}=\sum_jM^j_i\hat{f}_{(j)}}

נציב קשר זה בנוסחה הקודמת בה מתואר v על ידי הקואורדינטות המוגדרות לכל בסיס בהתאמה,

מאחר ש־ הוא בסיס נובע שבו יש ל־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v} הצגה יחידה ולכן נוכל להשוות את הסכומים אבר־אבר לפי מקדמים ולקבל

וזהו כלל ההתמרה של קואורדינטות של וקטורים. וקטורים שמותמרים לפי כלל זה נקראים "וקטורים קונטרה־וריאנטים" מאחר שהקואורדינטות מותמרות בצורה הפוכה לבסיס.

ראו גם

בגאוגרפיה
במתמטיקה
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.