צבר (פיזיקה סטטיסטית)

בפיזיקה סטטיסטית מושג הצבר (ensemble) מתייחס לאוסף המערכות המוגדרות על ידי אותה בעיה פיזיקלית ואותם גדלים מקרוסקופיים (טמפרטורה, לחץ, פוטנציאל כימי וכדומה), אבל נבדלות זו מזו במצב המיקרוסקופי של כל החלקיקים.

אחד הרעיונות בפיזיקה הסטטיסטית הוא לבנות תורה הנובעת מחוקי הפיזיקה התקפים לכל מספר של חלקיקים, אבל מבלי לחקור את ההתנהגות של מערכת בודדת, אלא של עותקים מחשבתיים רבים של אותה מערכת בודדת. אוסף של עותקים כאלו נקרא "צבר" והפיזיקה הסטטיסטית עוסקת בתכונות של צברים, או במילים אחרות, בהתנהגות הממוצעת של המערכת. הפיזיקה הסטטיסטית מצליחה להגדיר את המושגים המוכרים מתרמודינמיקה, כמו טמפרטורה, אנטרופיה, וקיבול חום, כתכונות של הצברים הללו.

צבר הוא אוסף של מערכות, שכל אחת יכולה להיות במצב שונה, אך יש להן תכונות משותפות הקובעות את סוג הצבר. הצבר המיקרוקנוני הוא צבר שעבורו כל המערכות הן בעלות אותה אנרגיה, אותו נפח ואותו מספר חלקיקים. הצבר הקנוני הוא צבר שבו לכל המערכות אותו נפח ואותו מספר חלקיקים אך הן יכולות להחליף אנרגיה עם אמבט חום בעל טמפרטורה קבועה. הצבר הגרנד-קנוני הוא צבר שבו המערכות יכולות להחליף לא רק אנרגיה אלא גם חלקיקים עם אמבט החום, אך נפחן קבוע. אלו שלושת הצברים הנחשבים לבסיסיים ביותר, אם כי ניתן להגדיר צברים רבים אחרים.

קל להבין שבזמן שהתיאור המיקרוסקופי מוביל לתיאור מקרוסקופי יחיד, כל תיאור מקרוסקופי נובע מהרבה תיאורים מיקרוסקופיים שונים: אפשר לסדר את החלקיקים בצורות שונות כך שתהיה להם אותה צפיפות, טמפרטורה ומהירות ממוצעת. הצבר על כן, הוא אותו האוסף של כל התיאורים המיקרוסקופיים הגוררים את אותו התיאור המקרוסקופי.

במכניקת הקוונטים צברים מיוצגים על ידי מטריצת צפיפות שבעזרתה ניתן לחשב את הממוצעים של כל מדידה פיזיקלית. גם כאן, התיאור המקרוסקופי אינו נותן מידע מלא על המצב המיקרוסקופי.

צברים חשובים

הצבר המיקרו-קנוני

אחת מהנחות היסוד של הפיזיקה הסטטיסטית היא כי בהינתן מערכת סגורה, בה האנרגיה הכוללת, הנפח ומספר החלקיקים קבועים, אזי ההסתברות שהמערכת תמצא בכל אחד מן המצבים המיקרוסקופיים האפשריים המקיימים את כל המאפיינים הקבועים מראש (נקראים "מצבים זמינים") היא זהה וכי ההסתברות שהמערכת תמצא במצב אחר, אשר איננו מקיים את התנאים האלו (למשל, בו סכום האנרגיות של כל החלקיקים גדול מהאנרגיה שנקבעה למערכת כולה) היא אפס. בשפה מתמטית, אם למערכת נתונה מצבים זמינים, אזי הסיכוי שהיא תמצא באחד מהם הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P= \frac{1}{g}} . להלכה, לא ניתן לאמת הנחה זו בצורה ניסויית, אך ניתן להצדיקה משיקולים תאורטיים[1] או לבדוק את המסקנות המתקבלות ממנה בצורה ניסויית.

בצבר זה, הנחשב לבסיסי ביותר, לכל המערכות יש בדיוק אותה אנרגיה. הגבלה זו איננה מחייבת בהכרח שכל המערכות נמצאות באותו מצב, שכן יכולים להיות מצבים שונים בעלי אותה אנרגיה (תופעה זו נקראת "ניוון"). את מספר המצבים שהמערכת יכולה להיות בהם בעלי אנרגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} נהוג לסמן ב . לפונקציה זו קוראים "פונקציית הניוון". האנטרופיה , מוגדרת בתור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S\left(E\right)=k_Blog\left(\Omega\left(E\right)\right)} (כאשר הוא קבוע בולצמן). מתוך האנטרופיה ניתן להגדיר את שאר הגדלים התרמודינמיים. כך לדוגמה, טמפרטורה מיקרו-קנונית, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_\mu} , מוגדרת על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{T_\mu}=\frac{dS}{dE}} , וקיבול חום מיקרו-קנוני, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_\mu} , מוגדר כ- .

הצבר הקנוני

הצבר הקנוני מתאר אוסף כל מערכות שסכום האנרגיה המשותף להן הוא קבוע, אך המערכות יכולות להחליף אנרגיה ביניהן, כך שהאנרגיה של כל אחת מהמערכות יכולה להשתנות. דרך אחרת לתאר את הצבר הקנוני היא להביט על מערכת אחת שיכולה לחלוק אנרגיה עם אמבט חום (שהוא למעשה כל שאר המערכות). סך האנרגיה של המערכת והאמבט קבוע אך האנרגיה של המערכת יכולה להשתנות. באמבט הקנוני ניתן להראות שההסתברות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \rho(E)} שלמערכת תהיה אנרגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} , נתונה על ידי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(E)\propto\Omega\left(E\right)e^{-\beta E}}

כאשר הקבוע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} נקבע מתוך שימור האנרגיה הכולל, וניתן להראות שהוא שווה ל:עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta=\frac{1}{k_bT_{can}}} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_{can}} היא הטמפרטורה של אמבט החום. התפלגות זאת נקראת "ההתפלגות הקנונית" או "התפלגות בולצמן". ברוב המערכות הפיזיקליות , כלומר מספר המצבים בעלי אנרגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} , היא פונקציה עולה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} , ולעומת זאת היא פונקציה יורדת של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} , ולכן ערכה של ההתפלגות הקנונית הוא 0 באנרגיה 0, לאחר מכן היא עולה, אבל דועכת שוב ל-0 באנרגיות גבוהות. מכאן שיש לה מקסימום לאורך הדרך, וניתן להראות שהמקסימום של ההתפלגות הקאנונית מתקבל באנרגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} שעבורה:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T_{\mu }\left(E\right)=T_{can}}

הצבר הקנוני הוא צבר המתאר היטב מערכות רבות במציאות, שכן בפיזיקה חלק גדול מהמערכות נמצאות בשיווי משקל עם אמבט חום כלשהו, או שניתן לתאר את המצב שלהן בקירוב טוב להתפלגות קנונית. יתר על כן, מבחינה חישובית, ההתפלגות הקנונית שימושית הרבה יותר מההתפלגות המיקרו-קנונית.

הצבר הגרנד-קנוני

בצבר הגרנד-קנוני המערכת יכולה להחליף לא רק אנרגיה אלא גם חלקיקים עם אמבט החום. במקרה כזה ההסתברות שלמערכת תהיה אנרגיה E ומספר חלקיקים N מקיימת

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(E,N)\propto\Omega\left(E\right)e^{-\beta( E-\mu N)}} .

עקרון השקילות

אחד הרעיונות החשובים בפיזיקה סטטיסטית הוא שעבור מערכות בעלות מספר גדול של חלקיקים, הצברים השונים שקולים זה לזה. מכאן שעבור מערכות גדולות ניתן לדוגמה לבצע חישובים בצבר הגרנד קנוני, ותוצאות החישובים תהיינה תקפות גם אם המערכת לא יכולה להחליף חלקיקים עם האמבט.

את השקילות של הצבר הקנוני והגרנד-קנוני ניתן להסביר בכך שההתפלגות הקנונית נראית בקרוב טוב כגאוסיאן כאשר היחס בין מיקום המרכז שלו לבין הרוחב שלו פרופורציונלי לאחד חלקי שורש ממספר החלקיקים, לפי שגיאת התקן.[דרושה הבהרה] לכן, כאשר מספר החלקיקים במערכת גדול מאד הרוחב של ההתפלגות נהיה זניח, וההתפלגות הופכת למעשה לפונקציית דלתא, שהיא בדיוק ההגדרה של מערכת מיקרוקנונית.

ראו גם

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

הערות שוליים

  1. בראייה מודרנית, ניתן להצדיק הנחה זו על סמך ניתוח של מצבי המערכת במרחב הפאזות ושימוש במשפט ליוביל או על ידי שימוש בהנחה כי במערכת סגורה האנטרופיה מרבית במצב של שיווי משקל ושימוש בעקרונות ווריאציה על מנת למצוא מינימום של האנטרופיה.
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.