פנים (טופולוגיה)

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה.

נהוג לסמן את הפנים של קבוצה בסימונים .

הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

  • תהי קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה , בתור קבוצת כל הנקודות כך שקיימת קבוצה פתוחה עבורה – כלומר, הקבוצה היא סביבה של .
  • תהי קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר המוכלת ב- . על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב- .
  • תהי קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: .

דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור בישר הממשי.

ולכן הפנים של הוא הקטע הפתוח .

תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

  • כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן .

חוץ

החוץ של קבוצה , המסומן , מוגדר כפנים של המשלים שלה: . באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: .

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.

ראו גם

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.