פונקציית גרין

במתמטיקה, פונקציית גרין היא פונקציה המשמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות לינאריות לא-הומוגניות עם תנאי שפה נתונים, והיא שימושית לפתרון בעיות בפיזיקה ובהנדסת חשמל. הפונקציה נקראת על שם ג'ורג' גרין, מתמטיקאי בריטי אשר פיתח את הרעיון בשנות ה-30 של המאה ה-19.

הגדרה

פונקציית גרין, (G(x, s של אופרטור דיפרנציאלי לינארי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{L}} היא פתרון של המשוואה:

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ \delta(x-s)} היא פונקציית דלתא של דיראק המוזזת ב-s.

אם ממד הגרעין של האופרטור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{L}} שונה מאפס פונקציית גרין אינה יחידה, אך למעשה תנאי השפה וסימטריות נותנים פתרון יחיד.

השימוש בפונקציה

ניתן להשתמש בפונקציית גרין כדי לפתור משוואות מהצורה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{L} u(x) = f(x) }

פונקציית גרין היא פתרון המשוואה עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ f(x)=\delta(x-s)} , ובעזרתה ניתן למצוא את פתרון המשוואה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ u(x)} .

לאחר מציאת פונקציית גרין נכפיל את שני אגפי המשוואה המגדירה אותה ב (f(s ונבצע אינטגרציה על כל תחום ההגדרה שלה לקבלת:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \hat{L} G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s)f(s) ds = f(x)} .

זהו אינטגרל קונבולוציה. נציב במקום (f(x את האופרטור כפי שהוגדר במשוואה הדיפרנציאלית ונקבל:

מאחר שהאופרטור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{L}} לינארי ופועל על x בלבד (ולא על משתנה האינטגרציה s) נוכל להוציא אותו מהאינטגרל באגף ימין:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{L}u(x) = \hat{L} \left(\int G(x,s) f(s) ds\right)} .

מכאן ניתן לזהות את הפתרון:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x) = \int G(x,s) f(s) ds } .

כלומר, הפתרון של משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית תלוי רק בפונקציית גרין של המשוואה ובאיבר הלא-המוגני. פונקציית גרין של האופרטור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{L}} נותנת את הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית שהוא מגדיר עבור כל פונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ f(x)} .

שימושים

השימוש העיקרי בפונקציית גרין במתמטיקה הוא לפתרון בעיות שפה אי-הומוגניות.

במקרה שבו האופרטור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{L}} בלתי תלוי מפורשות במשתנה התלוי (לדוגמה, הוא מכיל רק נגזרות לפי x אך לא כפל בפונקציות של x) - פונקציית גרין תלויה רק בהפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר היא פונקציה של משתנה אחד:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G(x,s) = G(x-s) }

במקרה כזה, פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הלא הומוגנית שווה לקונבולוציה בין האיבר הלא הומוגני לבין פונקציית גרין:

.

בהנדסת חשמל, פונקציית גרין היא הבסיס לעקרון התגובה להלם. מערכת לינארית ניתנת לתיאור על ידי משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית, כאשר האיבר הלא הומוגני הוא פונקציית הכניסה למערכת ופתרון המשוואה הוא היציאה של המערכת. פונקציית הדלתא של דיראק נקראת פונקציית הלם ופונקציית גרין של המשוואה נקראת תגובת ההלם של המערכת משום שהיא יציאת המערכת עבור כניסת הלם. למערכות לינאריות בלתי משתנות בזמן יש תגובה להלם שתלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת פונקציית ההלם. במקרה כזה התגובה להלם שימושית במיוחד משום שבעזרתה ניתן לחשב את יציאת המערכת לכל כניסה באמצעות קונבולוציה בינה לבין פונקציית הכניסה, פעולה שניתן לבצע ביעילות בעזרת התמרת פורייה.

פונקציית גרין משמשת גם בתחומים רבים בפיזיקה: בפיזיקה של חומר מעובה לפתירת משוואת הדיפוזיה, באלקטרומגנטיות לפתרון משוואת פואסון, במכניקת הקוונטים לפתרון משוואת שרדינגר ובפיזיקה תאורטית מודרנית לתיאור תהליכים על ידי דיאגרמות פיינמן.

משפט גרין

יהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{L}} אופרטור שטורם ליוביל - אופרטור דיפרנציאלי לינארי מהצורה:

כאשר תנאי השפה ניתנים על ידי אופרטור תנאי השפה D:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{D}u = \left\{\begin{matrix} \alpha _1 u'(0) + \beta _1 u(0) \\ \alpha _2 u'(\ell) + \beta _2 u(\ell). \end{matrix}\right. }

ותהי (f(x פונקציה רציפה בתחום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [0,\ell]} .

אזי ישנו פתרון אחד ויחיד (u(x המקיים:

והוא נתון על ידי:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x) = \int_0^\ell G(x,s) f(s) \, ds }

כאשר, (G(x,s היא פונקציית גרין המקיימת את התנאים הבאים:

  1. (G(x,s רציפה ב-x וב-s.
  2. לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \ne s } מתקיים: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\hat {L}}G(x,s)=0\,} .
  3. לכל מתקיים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{D} G( x, s ) = 0 \,} .
  4. "קפיצה" בנגזרת: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G'(s_{ + 0}, s ) - G'(s_{ - 0}, s ) = 1 / p(s). \,} .
  5. סימטריה: .

דוגמה למציאת פונקציית גרין

נתונה המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ u ' ' + u = f( x ) }

עם תנאי השפה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(0) = 0, \quad \quad u\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 }

פונקציית גרין של הבעיה היא הפונקציה המקיימת את המשוואה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G'' + G=\delta(x-s)} .

עבור כל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ x \ne s} פונקציית הדלתא מחזירה אפס ומתקבלת משוואה דיפרנציאלית הומוגנית שהפתרון הכללי שלה הוא:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle G(x,s)=A\cos x+B\sin x.\,}

עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ x < s} נציב את תנאי השפה ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ x=0} :

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(0,s) = c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 0 = 0, \quad \Rightarrow \ c_1 = 0 } .

עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ x > s} נציב את תנאי השפה ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ x=\pi/2} :

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G\left(\frac{\pi}{2},s\right) = c_3 \cdot 0 + c_4 \cdot 1 = 0, \quad \Rightarrow \ c_4 = 0 } .

מכאן שפונקציית גרין היא מהצורה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(x,s)=\left\{\begin{matrix} c_2 \sin x, \;\; x < s \\ c_3 \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right. }

ונותר לקבוע מהם המקדמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_2} ו-.

מרציפות פונקציית גרין ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=s\,\!} נובע ש-

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_2 \sin s = c_3 \cos s.\, }

הנגזרת הראשונה של הפתרון אינה רציפה: מבצעים אינטגרציה על שני אגפי המד"ר מ- עד ולוקחים את הגבול עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon \to 0} . האינטגרל על פונקציית הדלתא הוא פונקציית מדרגה, ומהקפיצה שלה מקבלים את התנאי הבא:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c_{3}\cdot [-\sin s]-c_{2}\cdot \cos s=1\,} .

מקבלת מערכת משוואות עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_2} ו- הפתרון שלה הוא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_2 = - \cos s \quad ; \quad c_3 = - \sin s } .

פונקציית גרין של הבעיה היא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(x,s)=\left\{\begin{matrix} -\cos s \cdot \sin x, \;\; x < s, \\ - \sin s \cdot \cos x, \;\; s < x. \end{matrix}\right. }

ראו גם

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.