פולינומי לז'נדר

במתמטיקה, פולינומי לז'נדר הם פולינומים אורתוגונלים המהווים את סדרת הפתרונות למשוואת לז'נדר:

הפולינומים נקראים על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר. המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הללו מופיעות באופן טבעי במגוון בעיות פיזיקליות, בפרט, בפתרון משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות.

למשוואה זו נקודות סינגולריות רגולריות (Regular Singular Point) ב-, והיא ניתנת לפתרון בשיטת טור חזקות (שיטת פרובניוס). הנירמול הסטנדרטי הוא: .

את הפולינום ה- ניתן לחשב באמצעות נוסחת רודריגז:

פולינומי לז'נדר הראשונים

להלן רשימת אחד עשר הפולינומים הראשונים (כלומר, עד n=10):

n
0
1 עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\,}
2
3 עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,}
4
5 עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,}
6
7 עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,}
8
9 עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,}
10 עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,}

להלן גרף של ששת הפולינומים הראשונים, בתחום 1>|x|.

תכונות ומאפיינים

אורתוגונליות

סדרות רבות של פונקציות המהוות פתרון למשוואה דיפרנציאלית מקיימות תנאי אורתוגונליות עבור מכפלה פנימית מסוימת (מרחב הילברט). לרוב, לכל סדרת פונקציות בנפרד יש מכפלה פנימית שונה עבורה הסדרה אורתוגונלית. המכפלה הפנימית עבורה פולינומי לז'נדר הם אורתוגונלים נתונה על ידי:

כאשר היא הדלתא של קרונקר.

ניתן להגיע אל הפולינומים בעזרת תהליך גרם-שמידט עבור חזקות שלמות של לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה.

פונקציה יוצרת

הפונקציה היוצרת, של פולינומי לז'נדר היא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 + \eta^{2} - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} P_{k}(x) }

יחסי רקורסיה

בנוסף לנוסחת חישוב כללית (המצריכה בעצם פעולת צעד-צעד, היות שצריך לחשב נגזרות מסדרים גבוהים), ישנה אפשרות לחשב את פולינומי לז'נדר בעזרת נוסחת רקורסיה, כלומר, נוסחה המחשבת את הפולינום מסדר מסוים כתוצאה משני הפולינומים שלפניו. נוסחת הרקורסיה נתונה על ידי:

הצגה אינטגרבילית

הצגה אינטגרבילית של פולינום לז'נדר:

שימושים

פולינומי לז'נדר שימושיים מאד בפיזיקה ומשמשים למגוון חישובים. הידועים שבהם הם בתחום האלקטרוסטטיקה ותורת הקוונטים.

כאשר המקדמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_\ell} ו - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_\ell} יקבעו בהתאם לתנאי השפה של הבעיה.

  • כאשר רוצים לחשב את הפוטנציאל החשמלי של מטען נקודתי אשר איננו נמצא בראשית מערכת צירים (במערכת קורדינאטות כדורית), ניתן לחשבו בעזרת (שימו לב שמדובר בפרופורציוניות ולא בשיויון):

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2ar \cos\theta}}. }

את הפונקציה הזו ניתן לחשב בעזרת פולינומי לז'נדר לפי הצורה הבאה:

  • פולינומי לז'נדר משמשים גם כפתרון לחלק הזוויתי (הזווית הנפתחת מציר ה-z) של משוואת שרדינגר עבור מקרה של פוטנציאל מרכזי. במקרה זה, ישנה גם תלות במרחק מהראשית r וכן בזווית סביב ציר z (החלק האזימותלי). את התלות המשותפת בשתי הזוויות ניתן להציג בעזרת הרמוניות ספריות.

פולינומי לז'נדר הנלווים

נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx} \left[ (1-x^2) {dy \over dx} \right] + \left( n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right) y = 0.}

עבור נקבל את משוואת לז'נדר הרגילה. פתרון המשוואה באופן כללי מניב את פולינומי לז'נדר הנלווים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_l^m (x) } וניתן לחשב אותם בצורה הבאה על ידי שימוש בנוסחת רודריגז:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_l^m (x) = \frac{(-1)^m}{2^l l!} (1-x^2)^{\frac{m}{2}} {d^{l+m} \over dx^{l+m}} (x^2-1)^l }


פולינומי לז'נדר המוכללים מהווים את החלק הזוויתי בהרמוניות הספריות, ויחס האורתוגונליות ביניהם הוא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-1}^{1} P_k ^{m} P_\ell ^{m} dx = \frac{2 (\ell+m)!}{(2\ell+1)(\ell-m)!}\ \delta _{k,\ell}}

קישורים חיצוניים

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.