ערך עצמי

באלגברה לינארית, ערך עצמי (Eigenvalue) של העתקה לינארית או של מטריצה הוא סקלר כלשהו, כך שקיים וקטור שונה מוקטור האפס (הנקרא וקטור עצמי) שהפעלת ההעתקה/המטריצה, מכפילה אותו באותו סקלר. במילים אחרות, וקטור עצמי של העתקה/מטריצה הוא וקטור כזה, שעבורו ההעתקה/המטריצה מתנהגים כמו סקלר. אינטואיטיבית, השפעת ההעתקה היא "כיווץ" או "מתיחה" של הווקטור, מבלי ש"תזיז" או "תעקם" אותו.

בשל הקשר ההדוק בין מטריצות והעתקות, המאפשר להביט עליהן כעל שני ייצוגים של אותו הדבר, מושג הערך העצמי זהה עבור שתיהן.

הגדרה פורמלית

יהי מרחב וקטורי ותהי העתקה לינארית. אם קיים וקטור השונה מאפס וסקלר שעבורו , אזי נקרא ל־ ערך עצמי של , ול־ נקרא וקטור עצמי (Eigenvector) של השייך לערך העצמי .

בהתאם, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות:

תהי מטריצה ריבועית מסדר מעל שדה ויהי וקטור.

אם קיים סקלר שעבורו , אז יקרא וקטור עצמי של השייך לערך העצמי .

וקטור עצמי ומרחב עצמי

עבור מטריצה , הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר הם כל הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית , כאשר מטריצת היחידה. וכאשר למשוואה הזו יהיה פתרון רק כאשר הדטרמיננטה תהיה שווה לאפס: .

אוסף הפתרונות נקרא "המרחב העצמי" של , והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים (כלומר, ), אז הוא "ערך עצמי", ובמקרה זה ממדו של המרחב קרוי הריבוי הגאומטרי של הסקלר (ראו להלן).

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי־תלויים לינארית זה בזה.

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. הריבוי האלגברי (או הריבוב האלגברי) הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כשורש של הפולינום האופייני; הריבוי הגאומטרי (או הריבוב הגאומטרי) הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי־תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא למעשה ממד המרחב העצמי של הערך העצמי או ממד מרחב הפתרונות של המשוואה . הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה.

מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, המטריצה לכסינה.

  • את השם "וקטור עצמי" לרוב רושמים כקיצור בתור ו"ע.

מציאת ערכים עצמיים

ערכים עצמיים מסייעים להצגת העתקות ומטריצות בצורות פשוטות יותר, ועל כן יש למציאתם חשיבות. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית לתהליכי לכסון מטריצות.

ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, והן תלויות בסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים.

הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם איברי האלכסון הראשי שלה, ווקטורי הבסיס הסטנדרטי הם וקטורים עצמיים שלה.

  • למטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני ולכן בהכרח גם אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי.
  • סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה.
  • מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה.

שיטות נומריות

עבור מטריצות מסדר גבוה הפולינום האופייני עשוי להיות ממעלה חמישית ויותר. נילס הנריק אבל ופאולו רופיני הראו כי לא קיים פתרון אלגברי כללי למשוואות כאלו (ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות), ולכן במקרים כאלו נהוג להשתמש בשיטות נומריות המבוססות על שיטות איטרטיביות. אחת השיטות הנומריות הראשונות שהוצעו למציאת ערכים עצמאיים היא אלגוריתם QR.

אלגוריתמים נפוצים למציאת ערכים עצמיים
אלגוריתםקלטפלטתיאורשלב אתחולשלב עדכון
Power iterationמטריצה כלליתהערך העצמי הגדול ווהקטור העצמי המתאים לומתחילים מווקטור שרירותי, שאותו מכפילים במטריצה ומנרמלים עד להתכנסות. שרירותי
אלגוריתם QR[1] מטריצת הסנברגכל הערכים העצמיים מבוסס על איטרציות שבכל שלב מוצאים פירוק QR של ( היא מטריצה אורתוגונלית ו־ היא מטריצה משולשית עליונה). תחת תנאים מסוימים מתכנסים לפירוק שור והערכים העצמיים מצויים על האלכסון של המטריצה המשולשית.
איטרציות יעקובימטריצה סימטרית ממשיתכל הערכים העצמייםבכל איטרציה מצמידים את המטריצה במטריצה אוניטרית כך שסכום רבועי האיברים שמחוץ לאלכסון יקטן, וכך מלכסנים את המטריצה

ספקטרום

עבור אופרטורים (המכלילים את מושג המטריצה, המוגבלת למרחב בעל ממד סופי) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות בהן לא קיים אופרטור הפיך וחסום ל־. קבוצה זו נקראת ספקטרום של אופרטור ותכונותיה נלמדות במסגרת האנליזה הפונקציונלית.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I", The Computer Journal, vol. 4, no. 3, pages 265-271 (1961, received Oct 1959) online at oxfordjournals.org;
    J.G.F. Francis, "The QR Transformation, II" The Computer Journal, vol. 4, no. 4, pages 332-345 (1962) online at oxfordjournals.org.
    Vera N. Kublanovskaya, "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem," USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 1, no. 3, pages 637–657 (1963, received Feb 1961). Also published in: Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol.1, no. 4, pages 555–570 (1961).
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.