עקומה

במתמטיקה, עקומה היא קו חד־ממדי ורציף. בצורה אינטואיטיבית, עקומה היא קו ישר שהופעלו עליו פעולות של עיקום ופיתול, מבלי "לקרוע" אותו. עקומות מופיעות ברבים מתחומי המתמטיקה, ובפרט בגאומטריה, אנליזה מתמטית וטופולוגיה.

דוגמאות פשוטות לעקומות הן קו ישר, מעגל, חתכי חרוט אחרים, גרף של פונקציה רציפה וכדומה.

הגדרה פורמלית

כאשר באים להגדיר עקומה בצורה פורמלית, הדרך הטובה ביותר לעשות זאת היא באמצעות פונקציה רציפה שתחומה הוא קטע של המספרים הממשיים, וטווחה הוא מרחב טופולוגי כלשהו. בצורה זו נשמרת התמונה האינטואיטיבית של "הקו הישר שאנו מעקמים ומפתלים", ויחד עם זאת מושג תיאור מדויק של העקומה. מכאן שמבחינה פורמלית, עקומה היא פונקציה.

יהא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I\subseteq\R} קטע על הישר הממשי. נקרא לפונקציה עקומה אם הוא מרחב טופולוגי כלשהו, ו־ היא פונקציה רציפה. בדרך־כלל, כאשר משתמשים במונח "עקומה" מניחים כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=\R^n} הוא המרחב האוקלידי ה־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ־ממדי. במקרה זה, למרחב הטופולוגי יש גם מבנה של מרחב וקטורי ומרחב מטרי ואפשר לנתח את העקומה בכלים של אנליזה וקטורית וגאומטריה דיפרנציאלית.

עקומה פשוטה

אם חד־חד־ערכית נאמר שהיא עקומה פשוטה. מבחינה אינטואיטיבית, הכוונה היא שהעקומה לא חותכת את עצמה, לא חוזרת על עצמה, כלומר "אין בה לולאות" וגם אין "התקדמות לאחור", כלומר מצב בו העקומה נעה לאחור על עצמה.

עקומה רגולרית

עקומה נקראת "רגולרית" אם הוקטור המשיק לעקומה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot\gamma(t)=\frac{d}{dt}\gamma(t)} לא מתאפס באף נקודה. כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall t:|\dot\gamma(t)|\ne0} , או העקומה לא "נעצרת" או "חוזרת על עקבותיה".

עקומה סגורה

אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I=[a,b]} , כלומר הוא קטע סגור וחסום, ואם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(a)=\gamma(b)} אזי נאמר כי העקומה סגורה (שני קצוותיה מחוברים). אם היא חד־חד־ערכית פרט לקצוות, נאמר כי היא פשוטה וסגורה. ניתן לראות עקומה כזו כתמונה של מעגל היחידה במישור. עקומה שכזו מכונה לעיתים קרובות עקומת ז'ורדן ויש לה שימושים רבים במתמטיקה.

עקומה חלקה למקוטעין

עקומה נקראת "חלקה למקוטעין" אם היא רציפה וגזירה ברציפות פרט למספר סופי של נקודות (למשל משולש).

אורך של עקומה

במרחב מטרי אורך של עקומה מוגדר על־ידי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{length}(\gamma)=\ell(\gamma)=\sup\left\{\sum_{k=1}^n d\bigl(\gamma(t_{k-1}),\gamma(t_k)\bigr)\right\}}

כאשר הסופרמום רץ על כל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\N} ועל כל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=t_0<t_1<\cdots<t_{n-1}<t_n=b} חלוקה של הקטע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} . זהו למעשה הסופרמום של אורכי העקומות הפוליגוניות (עקומות המורכבות ממספר סופי של קוים ישרים) המקרבות את העקומה.

אם העקומה גזירה ברציפות ורגולרית, אפשר לחשב את אורך העקומה לפי הנוסחה הבאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell(\gamma)=\int\limits_a^b\|\gamma'(t)\|dt}

במקרה שהעקומה נתונה כגרף של פונקציה רציפה אורך משיק אינפיניטסימלי של קירוב פוליגוני , הוא לפי משפט פיתגורס , אם הפונקציה גזירה אזי אפשר לרשום

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell=\int\limits_a^b d\ell=\int\limits_a^b\sqrt{dx^2+dy^2}=\int\limits_a^b\sqrt{1+\left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}dx=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx}

לנוסחה זו אפשר להגיע באופן ריגורוזי על ידי הצבת הפרמרטריזציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (t,f(t))} בנוסחה הכללית.

פרמטריזציה טבעית

לעקומה רגולרית אפשר להגדיר פרמטריזציה טבעית שבה הפרמטר האפיני מוחלף באורך העקומה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell} . במקרה זה

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\ell =\|{\dot {\gamma }}(t)\|dt=\|\gamma '(t)\|dt}

כאשר

הפרמטר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell(t)} נקרא "הפרמטר הטבעי" של עקומה.

אזי מתקיים כי וקטור המשיק הוא תמיד מנורמל, שכן

במשוואות פרנה ומשוואות פרנה-סרה משתמשים בעקומות בעלות פרמטריזציה טבעית, וכן גם בהגדרת האוולוט.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.