נוסחת קרמר

באלגברה לינארית, נוסחת קרמר (או כלל קרמר, על שם המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר) היא נוסחה מפורשת לפתרון מערכת משוואות לינאריות בעזרת דטרמיננטות.

מבחינה חישובית הנוסחה אינה יעילה, אך יש לה חשיבות כיוון שהיא נותנת ביטוי חד־משמעי של פתרון המערכת, מה שגם מאפשר להוכיח תכונות של מטריצות ודטרמיננטות. כך למשל הנוסחה מספקת ביטוי מפורש לאבר הכללי של מטריצה הפוכה, באופן שנובע ממנו כי מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מ־0.

נוסחת קרמר

כידוע מאלגברה לינארית, למערכת משוואות ריבועית (כלומר, מספר המשתנים שווה למספר המשוואות) המיוצגת על ידי , כאשר מטריצה ריבועית ו־ הוא וקטור עמודה, קיים פתרון יחיד אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A)\ne0} .

על פי נוסחת קרמר, הרכיב ה־ של וקטור הפתרון נתון על ידי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k=\frac{\det(A_k)}{\det(A)}}

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_k} המטריצה המתקבלת על ידי החלפת העמודה ה־ שבמטריצה בווקטור .

דוגמה

נתונה מערכת המשוואות

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases}x+2y+3z=2\\4x+5y+6z=2\\7x+8y+8z=4\end{cases}}

כלומר המערכת מיוצגת על ידי המטריצה והווקטור .

נחשב את הדטרמיננטות:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\det(A)&=\det\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&8\end{bmatrix}=3\\ \det(A_1)&=\det\begin{bmatrix}\color{red}2&2&3\\\color{red}2&5&6\\\color{red}4&8&8\end{bmatrix}=-12\\ \det(A_2)&=\det\begin{bmatrix}1&\color{red}2&3\\4&\color{red}2&6\\7&\color{red}4&8\end{bmatrix}=18\\ \det(A_3)&=\det\begin{bmatrix}1&2&\color{red}2\\4&5&\color{red}2\\7&8&\color{red}4\end{bmatrix}=-6\end{align}}

והפתרון נתון על ידי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}x&=\frac{-12}{3}=-4\\y&=\frac{18}{3}=6\\z&=\frac{-6}{3}=-2\end{align}}

הוכחה

בעזרת התכונות של פונקציית נפח

נניח כי נתונה המערכת . נסמן את עמודות המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_1,\ldots,\alpha_n} . הטענה כי הווקטור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_1,\ldots,x_n)} פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי

נחשוב על הדטרמיננטה כעל פונקציית נפח, המקבלת כארגומנטים את עמודות המטריצה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A)=\det(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}

הדטרמיננטה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A_k)} מתקבלת מהחלפת העמודה ה־ בעמודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} . כלומר:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A_k)=\det(\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1},b,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)=\det\left(\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1},\sum_{i=1}^nx_i \alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n\right)}

מכיוון שהדטרמיננטה, כפונקציית נפח, היא לינארית בכל רכיב, מתקבל

ומתכונת פונקציית הנפח, לכל מתקיים כי ולכן נותרנו עם

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A_k)=x_k\det(\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1},\alpha_k,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)=x_k\det(A)}

ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k=\frac{\det(A_k)}{\det(A)}} .

בעזרת הרחבת המטריצה

נניח כי נתונה מערכת לא הומוגנית:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}}

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_1,\ldots,x_n)} הוא וקטור הפתרון (היחיד) של המערכת. לחישוב האבר ה־ של , נוסיף למערכת משוואה אחת, כך:

כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האברים הם אפס, פרט לעמודה ה־ ולעמודה ה־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} . מכיוון שהווקטור פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית. טענה מאלגברה לינארית אומרת כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הדטרמיננטה מתאפסת. הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס. נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה, ונשים לב כי המינור ה־ הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_k} מוכפל בגורם , מכיוון שלצורך הבאת העמודה האחרונה למקום ה־ יש לבצע על העמודות תמורה שהיא מחזור באורך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-k+1} . בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-1)^{n+1+k}} ולכן מתקבל:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-1)^{n+1+k+n-k}\det(A_k)+(-1)^{n+1+n+1}x_k\det(A)=x_k\det(A)-\det(A_k)=0}

כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k=\frac{\det(A_k)}{\det(A)}} .

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.