משפט נתר (פיזיקה)

משפט נתר הוא משפט בפיזיקה תאורטית הקושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת. כך למשל, חוק שימור התנע נובע מסימטריה של מערכת להזזות (כלומר התנע נשמר כאשר מאפייני המערכת אינם תלויים במיקומה). המשפט קרוי על שם המתמטיקאית אמי נתר שהוכיחה אותו במהלך מחקר של בעיות בחוק שימור האנרגיה בתורת היחסות הכללית. המשפט והוכחתו פורסמו במאמר בשנת 1918.

ניסוח פורמלי

ניתן לנסח את משפט נתר באופן הבא:

עבור כל סימטריה רציפהגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור[1].

ניסוח מתמטי:

בהינתן לגראנז'יאן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}(\phi(x_{\mu}),\partial_\mu\phi,x_{\mu})} , נניח שהפעולה
אינווריאנטית תחת טרנספורמציה התלויה באופן רציף וגזיר בפרמטר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha } על ידי:
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\rightarrow y(x,\alpha ),\quad \phi \rightarrow \psi (\phi ,\alpha )} .
כאשר
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_{\mu} = (x_0,x_i) =(t,x_i) }
אזי קיים זרם שמור המקיים משוואת רציפות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{\mu} \partial_{\mu} J^{\mu} =0 } .
הזרם נתון על ידי
כאשר g היא המטריקה ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g^\mu_\nu = \delta_{\mu , \nu}} היא דלתא של קרונקר.
מזרם זה ניתן לקבל את המטען השמור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=\int d^3x J^0 } המקיים
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dQ}{dt} = \frac{dQ}{dx_0} = 0 } .[2]

הגודל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta ^\mu_\nu = \frac{\partial \mathcal{L} } {\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - g^\mu_\nu\mathcal{L}} נקרא טנזור צפיפות המאמץ-אנרגיה ועל ידי ביצוע סימטריזציה שלו אפשר לקבל את טנזור המאמץ-אנרגיה היחסותי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T^{\mu \nu}} .

משפט נתר במכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים, בה משוואת שרדינגר תלויה בהמילטוניאן, מקבל משפט נתר את הצורה הבאה:

תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} טרנפורמציה אוניטרית רציפה, המוגדרת באמצעות האופרטור G, יוצר הטרנספורמציה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = \exp{\left( -\frac{i}{\hbar} \varepsilon G \right)}}

T היא סימטריה של המערכת (כלומר, ) אם ורק אם G הוא קבוע (בזמן) של התנועה.

הוכחה

התנאי שקול לתנאי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T^\dagger H T = H} . השוויון נכון גם לכל סדר בפיתוח טיילור של האופרטור ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon} , ובפרט לסדר הראשון:

בעזרת קיבוץ איברים מתקבל השוויון:

השקול לתנאי:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [G,H] = GH - HG = 0}

אבל, מאחר שההמילטוניאן הוא יוצר של ההתקדמות בזמן,

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [G,H] = i \hbar \frac{\partial G}{\partial t} }

ולכן,

כלומר, G הוא קבוע של התנועה.

שימושים

בעזרת משפט נתר ניתן לקבל את חוקי השימור הבאים:

ועוד חוקי שימור נוספים, כגון חוקי שימור של המספר הבריוני והלפטוני.

חשיבות המשפט

למשפט נתר חשיבות גדולה בפיזיקה תאורטית. המשפט קושר בין כל חוקי השימור הפיזיקליים (כולם נובעים בעצם מאותה סיבה בסיסית - סימטריה). יתירה מזו, חוקי השימור הבסיסיים והחשובים (אנרגיה, תנע, תנע זוויתי) נובעים בעצם מהנחות מאוד בסיסיות ואינטואיטיביות - ההומוגניות והאיזוטרופיות של חוקי הפיזיקה (כלומר ההנחה שחוקי הפיזיקה אינם תלויים בזמן ובמרחב, ואותם חוקים התקפים כאן ועכשיו יהיו תקפים לעולם וגם בגלקסיות רחוקות).

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. יש לציין כי זהו ניסוח פשטני שבדרך כלל נמצא בשימוש בפיזיקה. הניסוח המקורי של המשפט כולל הבחנה בין חבורות סימטריה סופיות ואינסופיות. כמו כן גם הכיוון ההפוך של המשפט נכון - כל גודל שמור מתקבל מאיזשהי סימטריה של הפעולה.
  2. הניסוח המתמטי מתאים ללגראנז'יאן של שדה. עבור לגראנז'יאן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L(q,\dot{q},t) } ופעולה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S= \int L dt } הגודל השמור הוא פשוט עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Q=J_0 }
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.