משוואת לפלס

משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מהצורה כאשר הוא אופרטור הלפלסיאן.

המשוואה קרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר סימון לפלס ויש לה שימושים רבים בפיזיקה. מהווה מקרה פרטי של משוואת פואסון.

פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית.

תכונות של משוואת לפלס בשני ממדים

משוואת לפלס בשני ממדים בקואורדינטות קרטזיות היא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0}

משוואת לפלס סימטרית במקרים הבאים:

  • ביחס להזזה של הצירים, כלומר אם הרמונית, גם הרמונית;
  • ביחס לסיבוב של הצירים, כלומר אם הרמונית, גם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u(r,\theta+\gamma)} הרמונית;
  • ביחס לנירמול המשתנים, כלומר אם הרמונית, גם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u(\frac{x}{\delta},\frac{y}{\delta})} הרמונית.

כאשר כולם קבועים.

שימושים בפיזיקה

משוואת לפלס מופיעה בתחומים שונים בפיזיקה, לדוגמה:

משוואת לפלס באנליזה מרוכבת

באנליזה מרוכבת, הרכיבים הממשי והמדומה של כל פונקציה אנליטית מקיימים את משוואת לפלס. תוצאה זו נובעת ממשוואות קושי-רימן ומכך שגזירות פונקציה אנליטית פעם אחת מספיקה כדי להסיק גזירותה אינסוף פעמים (כדי שהנגזרות החלקיות השניות המעורבות יהיו שוות).

בנוסף, לפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} המקיימת את משוואת לפלס (הנקראת גם פונקציה הרמונית) ניתן לעיתים למצוא פונקציה הרמונית צמודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , כלומר כך שהפונקציה המרוכבת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u+iv} תהיה אנליטית. פונקציה כזו קיימת באופן נקודתי בתחום פתוח, אך קיומה באופן גלובלי לא מובטח. משפט מאנליזה מרוכבת קובע כי תחום הוא תחום פשוט קשר אם ורק אם לכל פונקציה הרמונית יש הרמונית צמודה לה בכל התחום.

ראו גם

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.