מצולע

בגאומטריה, מצולע הוא חלק ממישור המתוחם על ידי מספר סופי של קטעים. מצולע הוא פשוט אם הקטעים אינם נחתכים מלבד בקצוותיהם. כל קטע במצולע נקרא צלע, וכל נקודה בה נפגשות שתי צלעות נקראת קודקוד. כל שתי צלעות שנפגשות בקודקוד יוצרות זווית.

מינוח

המצולעים נקראים על פי מספר הצלעות, לדוגמה: במרובע ישנן ארבע צלעות, במחומש ישנן חמש צלעות, במשושה שש צלעות וכך הלאה. ניתן ליצור אינסוף מצולעים. בטבלה שלהלן מצויים שמות שמונה המצולעים הראשונים:

שמות המצולעים
שםצלעות
משולש3
מרובע4
מחומש5
משושה6
משובע7
מתומן8
מתושע9
מעושר10
  • צלעות סמוכות במצולע הן שתי צלעות שיש להן קודקוד משותף.
  • זוויות סמוכות במצולע הן שתי זוויות הנשענות על אותה הצלע.
  • זווית חיצונית היא זווית בין צלע מסוימת להמשך הצלע הסמוכה לה.
  • אלכסון הוא קטע המחבר שני קודקודים שאינם סמוכים.

סוגי מצולעים

  • מצולע קמור הוא מצולע שכל זוויותיו הפנימיות קטנות מ-180 מעלות. במצולע קמור הקו המחבר כל שתי נקודות מתוך המצולע עובר רק בתוך המצולע.
  • מצולע קעור הוא מצולע בעל זווית אחת לפחות הגדולה מ-180 מעלות. במצולע קעור ישנו לפחות אלכסון אחד העובר כולו מחוץ למצולע.
  • מצולע שווה-צלעות הוא מצולע שכל צלעותיו שוות. דוגמה למצולע שווה-צלעות היא מעוין.
  • מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות, וכל זוויותיו שוות. דוגמאות למצולע משוכלל הם הריבוע והמשולש שווה הצלעות.

לעיתים ניתן למצולע שם המפרט מעט יותר את תכונותיו. דוגמאות:

  • במשפחת המשולשים מבחינים ב:
  • במשפחת המרובעים מבחינים ב:
    • ריבוע: מרובע שכל צלעותיו שוות באורכן וכל זוויותיו שוות (צלעותיו הנגדיות מקבילות זו לזו).
    • מלבן: מרובע שכל זוויותיו שוות, צלעותיו הנגדיות שוות ומקבילות.
    • מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות באורכן.
    • מקבילית: מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות ומקבילות.
    • דלתון: מרובע שבו שתי צלעות סמוכות שוות זו לזו, ושתי הצלעות הסמוכות האחרות שוות אף הן זו לזו.
    • טרפז: מרובע ששתיים מצלעותיו מקבילות זו לזו.
    • טרפז שווה-שוקיים: טרפז שאלכסוניו שווים.

תכונות

סכום הזוויות הפנימיות (ביחידות של מעלת קשת) במצולע קמור בעל n צלעות ( n קודקודים) הוא:

.

מהנוסחה הזאת נובע שסכום הזוויות החיצוניות במצולע קמור הוא 360 (כאשר בכל קודקוד מחשיבים רק זווית חיצונית אחת)

גודלה של כל זווית במצולע משוכלל בעל n צלעות הוא:

או


מספר האלכסונים במצולע:

(ההוכחה)

הוכחות לסכום הזוויות במצולע

ההוכחה של אוקלידס

ההוכחה הנלמדת בבתי הספר, שמקורה באוקלידס מורכבת משני שלבים, השלב הראשון הוא הוכחה שסכום הזויות במשולש שווה ל-180 מעלות והשלב השני נוגע לכל יתר המצולעים. נתחיל מהשלב השני. נבצע על המצולע טריאנגולציה, כלומר נחלק אותו למשולשים. באופן זה המצולע מתחלק ל n-2, מצולעים, כאשר n הוא מספר הצלעות. סכום הזויות במצולע שווה לסכום הזויות של כל המשולשים יחד, שהוא 180 כפול מספרם כלומר . מ.ש.ל.

על מנת להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180 נבנה קו מקביל לאחת הצלעות במשולש, העובר דרך הקדקד שממולה. עתה ניתן לראות שהזויות שבין צלעות המשולש, לקו שבנינו שווים לזוויות הפנימיות במשולש, ויחד יוצרים זווית של 180 מעלות. מ.ש.ל

מסע הצב

ההוכחה הבאה מתבססת על תוכנת המחשב לוגו, שבה מציירים צורות בעזרת הפקודות 'קדימה' ו'ימינה'. נעקוב אחר הצב בזמן שהוא מצייר את המצולע, בכל שלב הזווית שבה הצב מסתובב שווה לזווית החיצונית לזווית של המצולע, ובסה"כ לאחר ציור המצולע כולו הצב חוזר לאותו כיוון ולכן הסתובב בסה"כ 360 מעלות. הוא חזר על הפעולה n פעמים לכן אם נציין ב-A את סכום הזויות במצולע נקבל ש: ומכאן

ריצופים ופאונים

על מנת ליצור ריצוף - כלומר לכסות את המישור כולו במצולעים, חייב להתקיים תנאי על הזויות: סכום הזויות בכל קדקד חייב להיות שווה ל-360. מכאן ניתן לראות לדוגמה שהמצולעים המשוכללים היחידים שניתן לרצף רק איתם את המישור הם המשולש הריבוע והמשושה המשוכללים, שכן רק הזויות הפנימיות שלהם מחלקים את 360.

התנאי ליצירה של פאון (צורה תלת ממדית הבנויה ממצולעים) היא שסכום הזויות בכל קדקד יהיה קטן מ-360. מכאן ניתן להיוכח שהמצולעים היחידים שמהם ניתן לבנות פאון משוכלל (פאון שבו כל הפאות הם מצולעים משוכללים זהים, ואותו מספר פאות נפגש בכל קדקד) הם המשולש, הריבוע והמחומש. ישנם 3 פאונים משוכללים שניתן לבנות מהמשולש המשוכלל, ולכן בסך הכל ישנם 5 פאונים משוכללים. פאונים אלו קרויים גם 'פאונים אפלטוניים', על שם הפילוסוף היווני אפלטון.

חמשת הפאונים האפלטוניים
ארבעון
(טטרהדרון – 4 פאות)
קובייה
(קובייה – 6 פאות)
תמניון
(אוקטהדרון – 8 פאות)
תריסרון
(דודקהדרון – 12 פאות)
עשרימון
(איקוסהדרון – 20 פאות)

ראו גם

קישורים חיצוניים

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.