מערכת פאנו

מערכת פּאַנוֹ היא מערכת מתמטית, המהווה מודל פורמלי של המספרים הטבעיים. המערכת בנויה על שני מושגי יסוד: איבר האפס ופעולת ה"עוקב". משני מושגים אלה מאפשרת אקסיומה מיוחדת לבנות, באינדוקציה, את פעולות החיבור והכפל. מערכת פאנו היא מערכת המספרים הבסיסית ביותר, וממנה אפשר לבנות את המספרים השלמים, את המספרים הרציונליים, ואת שאר מערכות המספרים. את האקסיומות הציע המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פאנו בשנת 1889.

מערכת פאנו מהווה ניסוח אקסיומטי ראשון למספרים הטבעיים, שעד סוף המאה ה-19 נחשבו יסודיים במידה שאין למעלה ממנה. האקסיומות, הכתובות בלוגיקה מסדר שני, מתארות את המספרים הטבעיים בדיוק כזה, עד שקיימת רק מערכת אחת המקיימת אותן (עד כדי איזומורפיזם). לגרסאות חלשות יותר, הכוללות רק אקסיומות בלוגיקה מסדר ראשון, יש גם מודלים לא־סטנדרטיים.

הגדרה פורמלית

קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

למערכת פאנו שלושה מרכיבים – קבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \N} , קבוע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\in\N} , ופעולה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S:\N\to\N} , המקיימים את האקסיומות הבאות (בעברית נקרא לפעולה זו "פעולת העוקב"):

  1. קיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\in\N} כך שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in\N} לא מתקיים (כלומר 0 הוא אבר ראשון במערכת).
  2. לכל שני אברים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y\in\N} , אם אז גם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=y} (כלומר פונקציה חד-חד-ערכית).
  3. תת־הקבוצה היחידה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\sube\N} המקיימת את התכונות
    • לכל אבר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in\N} , אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in K} אז גם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(x)\in K}
היא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \N} עצמה. (זוהי אקסיומת האינדוקציה).

המספר 1 מוגדר במערכת הזו כעוקב של אפס, 2 מוגדר כעוקב של 1, וכן הלאה. לאחר שמגדירים את פעולת החיבור, אפשר לראות בפעולת העוקב הוספת אחד, כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(x)=x+1} . האקסיומה השלישית, המאפשרת להגדיר ולהוכיח טענות באינדוקציה, היא ליבה של המערכת. כיוון שהאקסיומה מונה על כל תת־קבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} , היא אינה כתובה בלוגיקה מסדר ראשון. בתורת המודלים וההוכחות הפורמליות קל יותר לנתח מערכות מסדר ראשון, ואכן קיימת גרסה המחליפה את האקסיומה השלישית בסכמת אקסיומות, כדלקמן.

3'. לכל נוסחה בשפה, קיימת האקסיומה

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar y} הוא קיצור עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_1,\ldots,y_k} .

בלוגיקה מסדר ראשון לא ניתן למנות על "כל קבוצה", כפי שעושה האקסיומה השלישית. סכימת האקסיומות, הכוללת מספר בן-מניה של אקסיומות מסדר ראשון (אחת לכל נוסחה), מבטאת את אותה טענה, אבל מסתפקת בקבוצות שהן, במובן של הלוגיקה הפורמלית, ניתנות להגדרה. האקסיומה קובעת שאם 0 מקיים תכונה מסוימת, ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} המקיים אותה גם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+1} מקיים אותה, אז התכונה מתקיימת לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

המערכת הכוללת את שתי האקסיומות 1 ו־2 לעיל ואת סכימת האקסיומות 3 נקראת אריתמטיקת פאנו, ומסומנת בדרך־כלל באותיות PA.

הגדרת פעולות החשבון

אקסיומת האינדוקציה מאפשרת להגדיר פונקציות באופן רקורסיבי.

החיבור (עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +} ) הוא פעולה בינארית המוגדרת באופן הבא:

  • בסיס: לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} טבעי מתקיים .
  • השלב הרקורסיבי: לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} טבעיים מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+S(y)=S(x+y)} .

הכפל (עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cdot} ) הוא פעולה בינארית המוגדרת באופן הבא:

  • בסיס: לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} טבעי מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\cdot0=0} .
  • השלב הרקורסיבי: לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} טבעיים מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\cdot S(y)=x+(x\cdot y)} .

באמצעות פעולת החיבור ניתן להגדיר את יחס הסדר המוכר על הטבעיים: לכל שני מספרים טבעיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\le y} אם ורק אם קיים מספר טבעי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} עבורו .

מהגדרה זו מקבלים שהעוקב של 0, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(0)} הוא איבר יחידה ביחס לכפל (לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} טבעי מתקיים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\cdot S(0)=x+(x\cdot0)=x+0=x} ), וסימונו המקובל הוא 1. מהגדרת החיבור נובע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(x)=x+1} . לפי הסימון החדש פעולת החיבור מוגדרת לפי ופעולת הכפל מוגדרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\cdot(y+1)=x+(x\cdot y)} .

אפשר להוכיח (באינדוקציה) שהמערכת מקיימת גם את כל האקסיומות המגדירות חוג למחצה.

מודלים

ריכרד דדקינד הוכיח שמערכת האקסיומות של פאנו (עם אקסיומת האינדוקציה מסדר שני) היא קטגורית, כלומר: כל שני מודלים של מערכת זו הם איזומורפיים. בניסוח פורמלי יותר: אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ < \omega_A,0_A,S_A > } ו- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ < \omega_B,0_B,S_B > } הם שני מודלים של מערכת פאנו, אז הפונקציה , המוגדרת (על-פי אקסיומת האינדוקציה של המערכת הראשונה) על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(0_A)=0_B, f(S_A(x))=S_B(f(x))} , היא איזומורפיזם בין המבנים.

מודלים לא סטנדרטיים

המספרים הטבעיים מהווים כמובן מודל של אקסיומות פאנו. כאשר מחליפים את אקסיומת האינדוקציה המלאה בגרסתה שמסדר ראשון, נכנס לפעולה משפט הקומפקטיות (החל על מערכות שהאקסיומות שלהן מסדר ראשון), שלפיו יש למערכת גם מודלים לא סטנדרטיים. לפי משפט לוונהיים-סקולם יש למערכת לא רק מודל בן-מניה, אלא גם מודלים מכל עוצמה אינסופית שהיא. כאשר מפרשים את תוצאת הקטגוריוּת של דדקינד במערכת מסדר ראשון, ההוכחה מראה שבתוך כל מודל של תורת הקבוצות, יש מודל יחיד לאריתמטיקת פאנו שהוא "הקטן ביותר" - הוא משוכן ברישא של כל מודל אחר של האריתמטיקה. במודל לא סטנדרטי של תורת הקבוצות מתקבל מודל לא סטנדרטי של האריתמטיקה, ומאלה אי-אפשר להימנע באמצעות הוספה של אקסיומות מסדר ראשון.

הגדרת המספרים הטבעיים על-פי האקסיומות של תורת הקבוצות

אפשר לנקוט בשלוש גישות לגבי מהותם של המספרים הטבעיים. הראשונה, להניח שהמספרים הטבעיים הם, כשמם, ישות טבעית שקיומה הוא הנחה אינטואיטיבית ומקובלת. השנייה, להניח, כאקסיומה בסיסית במתמטיקה, שקיימת מערכת פאנו. ושלישית, לקבל את אקסיומות היסוד של תורת הקבוצות (כגון המערכת של צרמלו-פרנקל), ולבנות מאלו גם מערכת פאנו. גישה זו, השלישית, היא זו שהציעו גוטלוב פרגה וברטראנד ראסל, והיא המקובלת היום על רוב המתמטיקאים. כך בונים מערכת פאנו:

  • נגדיר את המספר 0 כקבוצה הריקה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset} .
  • לכל קבוצה A נגדיר את העוקב של A על ידי:

בדרך זו נקבל:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1=S(0)={\{\emptyset\}}=\{0\}}
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3=S(S(S(0))=\{\emptyset ,\{\emptyset\}, \{\emptyset ,\{\emptyset\} \} \}=\{0,1,2\}}
וכן הלאה.

עתה, נגדיר קבוצה אינדוקטיבית: קבוצה אינדוקטיבית היא קבוצה המכילה את 0 (הקבוצה הריקה) וכן, עבור כל איבר בקבוצה, היא מכילה את העוקב לו. אזי, קבוצת המספרים הטבעיים מוגדרת כקבוצה האינדוקטיבית הקטנה ביותר (המתקבלת מחיתוך של כל הקבוצות האינדוקטיביות).

כעת ניתן להגדיר על הטבעיים סדר חלקי פשוט באמצעות הכלה (כהגדרתה בתורת הקבוצות) באופן הבא: לכל x,y טבעיים נגדיר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \le y} אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \subseteq y} . לפי עקרון הסדר הטוב זהו סדר טוב.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.