מספרים זרים

שני מספרים שלמים נקראים מספרים זרים, אם המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, כלומר, אין אף מספר גדול מאחת שמחלק את שניהם.

על-פי המשפט היסודי של האריתמטיקה אפשר לכתוב כל מספר באופן יחיד כמכפלה של גורמים ראשוניים. שני מספרים הם זרים אם ורק אם אין ברשימת הגורמים שלהם אף ראשוני משותף; לדוגמה, זר ל- .

דוגמאות נוספות:

  • 5 ו-7 הם מספרים זרים.
  • 4 ו-6 אינם זרים, מכיוון ששניהם מתחלקים ב-2.
  • אם p ראשוני, אז כל מספר שאינו מתחלק ב- p בהכרח זר ל-p.

שלשה של מספרים נקראת 'שלשה זרה' (ולפעמים 'שלשה פרימיטיבית') אם אין אף מספר גדול מאחת המחלק את כולם; וכן לרביעייה, חמישייה או קבוצה גדולה יותר. אם המספרים בקבוצה זרים גם זה לזה, אומרים שהם 'זרים בזוגות'. ייתכן שבקבוצת מספרים המספרים יהיו זרים בלי להיות זרים בזוגות. למשל 6,10,15 - אין מספר גדול מאחד המחלק את שלושתם, אך כל זוג מתוכם אינו זר.

תכונות של מספרים זרים

אם קיימים מספרים שלמים a,b כך ש- an+bm=1, אז n,m זרים, משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את אגף ימין בשוויון הזה. מאידך, מכיוון שחוג המספרים השלמים הוא תחום ראשי, לכל שני מספרים זרים n ו-m קיימים a ו- b כך ש- . האלגוריתם של אוקלידס מוצא את המקדמים הללו בזמן קצר יחסית. מתכונה זו מתקבלת הוכחה קלה של משפט השאריות הסיני.

קבוצת המספרים בין 1 ל- n הזרים ל-n היא חבורה ביחס לכפל מודולו n, הנקראת חבורת אוילר של n. גודלה של חבורה זו שווה ל-, כאשר היא פונקציית אוילר.

אם n ו- m זרים, אז הכפולה המשותפת המינימלית שלהם שווה למכפלתם nm.

עבור כל שני מספרים זרים n ו- m מתקיים שכל אחד מהם זר לכל העלאה בחזקה של האחר (לדוגמה, n זר ל-m3), וכן מתקיים שכל אחד מהם זר לסכומם n+m.

ההסתברות ששני מספרים יהיו זרים

נסמן ב- את ההסתברות ששני מספרים טבעיים קטנים מ-N שנבחרים באקראי (בהתפלגות אחידה) יהיו זרים. כאשר N שואף לאינסוף, שואף ל-. על כן ניתן לומר שההסתברות ששני מספרים טבעיים כלשהם יהיו זרים היא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}} (תיאור ההסתברות כגבול דרוש משום שאי אפשר לבחור שני מספרים טבעיים סתם, בהתפלגות אחידה).

המקור לטענה הוא בנימוק הבא: נבחר שני מספרים באופן אקראי (למען הפשטות, נוותר על הדיוק ונניח שניתן לבחור מספרים טבעיים לא חסומים באופן אחיד). המספרים זרים אם ורק אם אין ראשוני שמחלק את שניהם. הסיכוי שראשוני עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} מחלק כל אחד מהם היא , ולכן הסיכוי שהוא מחלק את שניהם היא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\tfrac {1}{p^{2}}}} . מכאן שהסיכוי שהוא לא מחלק את שניהם הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\tfrac{1}{p^2}} . לכל שני ראשוניים שונים, המאורעות הללו בלתי תלויים (מכיוון שמספר מתחלק בשני ראשוניים שונים אם ורק אם הוא מתחלק במכפלה שלהם). מכאן שההסתברות שאין ראשוני שמחלק את שני המספרים שנבחרו היא מכפלת ההסתברויות שכל ראשוני בנפרד לא מחלק את שניהם. כלומר ההסתברות היא:

כאשר המכפלה עוברת על כל הראשוניים. קיבלנו את ההופכי של מכפלת אוילר של פונקציית זטא של רימן בנקודה , ולכן ההסתברות שווה ל-. לפי הפתרון של בעיית בזל, ערך זה שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}} .

הכללות

בחוגים כלליים, לטענה שאיברים a ו- b זרים יכולה להיות שתי משמעויות: או שאין איבר לא הפיך שמחלק את שניהם, או שאין אידאל שמחלק את שניהם (ובמלים אחרות, האידאל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle a,b\rangle} שווה לכל החוג). האפשרות השנייה תמיד חזקה מן הראשונה, ובתחומי אידאלים ראשיים הן מתלכדות.

אומרים ששני אידאלים (של חוג כלשהו) הם זרים (או קו-מקסימליים, או מקסימליים הדדית), אם סכומם שווה לכל החוג. זוהי תכונה מרכזית בהכללה של משפט השאריות הסיני לחוגים כלליים.

קישורים חיצוניים

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.