ממד (אלגברה לינארית)

באלגברה לינארית, הממד של מרחב וקטורי הוא מספר האברים בבסיס של המרחב. משום כך, הממד שווה למספר הפרמטרים החופשיים הנחוצים לתאר נקודות של המרחב, ובכך הוא מכליל את המספרים המוכרים אינטואיטיבית מן המרחבים האוקלידיים הראשונים: הקו הישר הוא חד-ממדי, המישור דו-ממדי, והמרחב המוגדר לפי אורך, רוחב וגובה הוא תלת-ממדי. כעוצמה של קבוצה, הממד הוא מספר טבעי (לרבות 0), או עוצמה אינסופית. לממד מהאלגברה הלינארית יש הכללות לתחומים רבים במתמטיקה.

מקובל לסמן את הממד של מרחב מעל שדה בסימון ; כשרוצים לציין את התלות בשדה הבסיס מסמנים , ולפעמים גם . הממד של מרחב וקטורי מעל שדה נתון, מאפיין אותו באופן מלא: כל שני מרחבים וקטוריים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה. המרחב היחיד מממד 0 הוא מרחב האפס, הכולל את וקטור האפס בלבד. הממד קובע גם תכונות מסוימות של תת-מרחבים. למשל, אם מרחב וקטורי מממד סופי ו- תת-מרחב מאותו ממד, אז הם מוכרחים להיות שווים.

משפט הממדים קושר את הממד של סכום וחיתוך תת-מרחבים: אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U,U'\sube V} אז .

הממד של מרחב הווקטורים שווה ל- , והממד של אלגברת המטריצות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{M}_n(F)} הוא .

הממד של סכום ישר של מרחבים הוא סכום הממדים, וממד המכפלה הטנזורית שווה למכפלת הממדים. גם ממד מרחב ההעתקות הלינאריות שווה למכפלת הממדים של המרחבים המעורבים. אם מרחב וקטורי מעל שדה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} שיש לו תת-שדה , אזי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} מרחב וקטורי מעל , והממדים מקיימים . בפרט, אם שדות, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [L:F]=[L:K]\cdot[K:F]} . עובדה בסיסית זו מאפשרת להסיק, למשל, שאי אפשר לקבל מספרים מסוימים על ידי פעולות של הוצאת שורש ריבועי, וזו הסיבה לכך שלא ניתן לבנות את , את הזווית 20°, או את השורש השביעי של היחידה (או את הרכיב הממשי שלו ) – כולן הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.