מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית (נקראת גם מטוטלת פשוטה) היא מטוטלת שמורכבת מגוף בעל ממדים קטנים, התלוי על חוט שמסתו ומידת ההתארכות שלו בזמן התנודות ניתנים להזנחה. בנוסף, זווית התנודה של המטוטלת קטנה יחסית. זהו מודל פיזיקלי, שאינו קיים באופן מושלם במציאות, אך בזכות הקירוב ניתן לתאר את תנועת הגוף באופן פשוט. תחת קירוב זה מטוטלת מתמטית היא סוג של מתנד הרמוני, ולכן מהווה מודל לתופעות פיזיקליות רבות.

לאחר הסטת הגוף מנקודת שיווי המשקל ושיחרורו, הגוף יבצע תנודות הרמוניות במישור אנכי סביב נקודת שיווי המשקל לאורך קשת מעגל. זמן המחזור של תנודות מטוטלת מתמטית אינו תלוי במסת המשקולת ובמשרעת (זווית) התנודות. זוהי תכונה חשובה, שכן היא מאפשרת למדוד מרווחי זמן. בעבר (עד המצאת השעון החשמלי) השתמשו בני האדם בשעון המונע על ידי מטוטלת.

ניתוח מתמטי

ננתח את תנועת המטוטלת, בקירוב בו החוט חסר מסה ואורכו קבוע, מסת המטוטלת נקודתית, וזווית התנודה קטנה. נסמן:

  • אורך החוט
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} מסת המשקולת
  • תאוצת הכובד
  • הזווית מהאנך

ננתח את המומנטים הפועלים על המטוטלת, יחסית לנקודת התלייה. מכיוון שהחוט מחובר לנקודת התלייה, הוא אינו מפעיל מומנט. לכן, המומנט היחיד הפועל על המטוטלת הוא המומנט שמפעיל כוח הכבידה, וגודלו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -mgl\sin(\theta)} . (הסימן שלילי כיוון שזהו כוח מחזיר, המנוגד לכיוון ההעתק).

מומנט ההתמד של המערכת הוא פשוט עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle I=ml^{2}} , ולכן מתקיים

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -mgl\sin(\theta)=ml^2\ddot\theta}

(ניתן להגיע לנוסחה זו גם עלפי משוואת התנועה, מבלי להיכנס למומנט ההתמד.

הדרך היא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -g\sin(\theta)=l\ddot\theta}

באמצעות קירוב זווית קטנה , נקבל משוואה של מתנד הרמוני:

הפתרון הכללי של משוואה זו הוא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta=\theta_0\sin(\omega t+\phi)}

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{l}}} , ו־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_0,\phi} נקבעים על ידי תנאי ההתחלה. זוהי פונקציה מחזורית, בתדירות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}} ובזמן מחזור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} .

המרחק מנקודת שיווי המשקל הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=l\theta } (שוב, בקירוב זוויות קטנות), ולכן גם המרחק מקיים תנודה הרמונית:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x_0\sin(\omega t+\phi)}

באופן כללי, ניתן לפתור את המשוואה פתרון אנליטי גם ללא הקירוב של זוויות קטנות, בעזרת אינטגרל אליפטי.

במערכת זו, כאשר הוא המילטוניאן וכאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=\frac{g}{l}} שרטוט הפאזה יתן הפרדה בין שני אזורים. הפרדה זו נקראת ספרטריקס.

פתרון מדויק

כאמור, ניתן למצוא את זמן המחזור של מטוטלת פשוטה גם ללא ההנחה של זוויות קטנות. יש להדגיש כי פתרון זה אינו אנליטי (כלומר, לא ניתן להציגו כהרכבת פונקציות אלמנטריות: פולינומים, אקספוננטים ופונקציות טריגונומטריות). הפתרון מערב אינטגרל אליפטי, שאותו יש לחשב באופן נומרי.

משימור אנרגיה מתקבל מיידית כי . כאשר ההפרש בין גובה המטוטלת לגובהה המקסימלי. אנו יודעים כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v=l\frac{d\theta}{dt}} ולכן

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{\sqrt{2g\Delta h}}{l}}

מצד שני, משיקול גאומטרי ניתן לראות כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta h=l\bigl(\cos(\theta)-\cos(\theta_0)\bigr)} , כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_0} הזווית בה נמצאת המטוטלת בגובהה המרבי. מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית

זוהי משוואה פרידה, וצריך לבצע את האינטגרל

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int dt=\int\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2g}{l}\bigl(\cos(\theta)-\cos(\theta_0)\bigr)}}}

ניתן לקבל את זמן המחזור על ידי אינטגרציה על רבע מחזור והכפלה ב־4:

אינטגרל זה אינו פתיר אנליטית, אך ניתן להביעו באמצעות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(k,\phi)} האינטגרל האליפטי של לז'נדר מהסוג הראשון, כך:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}F\left(\sin \left({\tfrac {\theta _{0}}{2}}\right),{\tfrac {\pi }{2}}\right)}

הרחבה – ניתוח האופנים העצמיים למטוטלת בעלת N מתנדים צמודים

ערך מורחב – מטוטלות מתמטיות צמודות

מטוטלת בעלת N מתנדים צמודים, היא בעצם מספר מטוטלות הקשורות זו לזו כאשר החוט של הראשונה יוצא מסוף המטוטלת הקודמת. מספר האופנים העצמיים של מטוטלות מתמטיות צמודות, הוא בדיוק כמספר המתנדים הצמודים שבה. האופנים העצמיים מצביעים על אורך פרקי הזמן שבהם המערכת חוזרת לאותו מבנה מרחבי, ללא חשיבות לזווית ביחס לאנך לקרקע, אלא רק לזוויות בתוך המערכת. עם הוספת מתנד צמוד למטוטלת, האופנים העצמיים שלה מתפלגים באופן הבא: מספר האופנים העצמיים של המערכת גדל והפרש הערכים בין אחד למשנהו קטן. בנוסף לכך, הם הולכים ומתבדרים.

ניתוח מתמטי עבור שני מתנדים צמודים

על מנת לחשב את משוואות התנועה עבור מטוטלת בעלת שני גופים, נשתמש במשוואות אוילר-לגראנז'.

האנרגיה הקינטית האצורה במערכת היא

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=\tfrac12m_1v_1^2+\tfrac12m_2v_2^2}

אנרגיית הגובה האצורה במערכת היא

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=-g\bigl(R_1\cos(\phi)(m_1+m_2)+m_2R_2\cos(\psi)\bigr)}

פונקציית הלגראנז' של המערכת היא:

נחשב עתה את משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית  :

לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בכל אגף מתקבלת המשוואה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (I): m_1 R_1^2 \ddot \phi + m_2 R_2^2 \ddot \phi + m_2 R_1 R_2 \ddot \psi \cos (\phi-\psi)- m_2 R_1 R_2 \dot \psi \sin(\phi-\psi)(\dot \phi - \dot \psi) }
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ = -m_2 R_1 R_2 \dot \phi \dot \psi \sin(\phi-\psi)- gR_1 \sin \phi (m_1+m_2 )}

באותה צורה, מחישוב משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi} מתקבלת המשוואה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (II): m_2 R_2^2 \ddot \psi + m_2 R_1 R_2 \ddot \phi \cos(\phi-\psi)- m_2 R_1 R_2 \dot \phi \sin(\phi-\psi)(\dot \phi - \dot \psi)}
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ = m_2 R_1 R_2 \dot \phi \dot \psi \sin(\phi-\psi)- g m_2 R_2 \sin \psi}

לאחר קירוב זוויות קטנות וארגון המשוואות, מקבלים מ-(I):

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ (2,1):R_{1}{\ddot {\phi }}+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}R_{2}{\ddot {\psi }}=-g\psi }

הערה: משמעות הסימונים למשוואות (n,k) הנו: המשוואה ה-k עבור n מתנדים צמודים. מ-(II) מקבלים:

ניתוח מתמטי עבור שלושה מתנדים צמודים

מחישוב משוואות אוילר לגראנז' בצורה זהה לזו שפורטה לעיל, קירוב לזוויות קטנות, וארגון המשוואות מתקבלות המשוואה הבאות:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (3,1): R_1 \ddot \phi + \frac {m_2+ m_3}{m_1+m_2+m_3} R_2 \ddot \psi+\frac {m_3}{m_1+m_2+m_3} R_3 \ddot \theta = -g\phi}
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (3,3): R_1 \ddot \phi + R_2 \ddot \psi + R_3 \ddot \theta = -g\theta}

הכללה ל־N מתנדים צמודים

בעזרת שש המשוואות שפותחו לעיל, ננסח עתה נוסחה כללית עבור מספר (k) של מתנד במטוטלת בעלת N מתנדים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (N,k)\sum_{i=1}^KR_i\ddot\phi_i+\sum_{i=k+1}^N\ddot\phi_iR_i\frac{\sum\limits_{j=i}^Nm_i}{\sum\limits_{j=k}^Nm_i}=-g\phi_k}

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi_i} הזווית ה-i מלמעלה

הערה: אם k=N האיבר האחרון אינו מופיע, משום שהסכום מ-N+1 עד N הוא סכום ריק.

ראו גם

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.