מוגדר היטב

במתמטיקה, הביטוי מוגדר היטב מתאר את האופן שבו בנויה הגדרה מתמטית – העשויה להיות בנויה כראוי, ולתאר את מה שהיא מתיימרת לתאר, או להיות רק מראית-עין של הגדרה שכתובה על-פי כללי התחביר המתמטיים, אך אינה מגדירה בפועל דבר.

בדרך כלל, הגדרה מתמטית מתייחסת ישירות לעצם המוגדר, ואינה טעונה בדיקה. למשל, "במספרים השלמים, ה'עוקב' של x הוא המספר x+1": מכיוון שבמערכת המספרים השלמים ניתן לחבר, הערך של x+1 מוגדר באופן חד-משמעי. עם זאת, ישנם מצבים שבהם ההגדרה מסתמכת על הנחות סמויות, שאותן יש לוודא על-מנת שההגדרה תהיה תקפה. ישנם כמה מצבים שכיחים, שבהם יש להשקיע מאמץ מסוים כדי להראות שהעצם שאותו רוצים להגדיר אכן מוגדר היטב.

בחירת נציגים

לעיתים, ישנן כמה אפשרויות להציג אובייקט מסוים, ואז, אם רוצים לבצע על אובייקטים כאלה פעולה מסוימת, יש לוודא קודם לכן שהתוצאה אינה תלויה בנציגים שבוחרים. לדוגמה, אם נגדיר ש"ה'גובה' של מספר רציונלי הוא ". לכאורה, הוגדר כאן הגובה של כל מספר רציונלי. בפועל, מספר רציונלי איננו קובע באופן יחיד את זוג המספרים ו- , משום שאפשר לצמצם ולהרחיב שברים, ולכן ההגדרה פגומה: הגובה של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ {\frac {2}{3}}={\frac {6}{9}}} הוא, כביכול, גם 5 וגם 15. זוהי תופעה כללית, המתרחשת כל אימת שמגדירים גודל מסוים עבור מחלקות שקילות של יחס שקילות באמצעות בחירה של נציגים. כדי להראות שהגודל מוגדר היטב, יש להוכיח שבחירת הנציגים אינה חשובה, ומתקבלת אותה תוצאה עבור כל נציג. למשל, כאשר מגדירים את החיבור של שברים לפי הנוסחה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}} , יש לוודא שחיבור השברים , לפי אותה נוסחה, יחזיר את אותו מספר רציונלי.

דוגמאות נוספות:

תכונות של אובייקט

"אם G חבורה, יהי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \phi :G\rightarrow G} האוטומורפיזם המוגדר לפי ". לכל איבר , האיבר ההפוך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g^{-1}} קיים; אבל הנוסחה הזו עדיין אינה הופכת את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi} לאוטומורפיזם, אף על פי שההגדרה טוענת שזה האובייקט שהתקבל (ואכן, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi} אינו בהכרח אוטומורפיזם). במקרה כזה, אפשר לומר "עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi} מוגדר היטב משום ש- G חבורה אבלית" (תכונת האבליות של G אכן מבטיחה שהפונקציה תהיה אוטומורפיזם).

הנחת קיום סמויה

"עבור מספר שלם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} , נגדיר את 'המחצית השלמה' של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} להיות המספר השלם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m} , המקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2m = n} ". מובן שלא תמיד קיים מספר שלם כזה, ולכן ההגדרה פגומה. כך גם ההגדרה "ה'שומר' של מספר שלם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} הוא המספר השלם הגדול ביותר שסכום ספרותיו, ועוד מספר ספרותיו, שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} " – אמנם קיים מספר כזה, אבל טענה זו אינה כה מובנת מאליה; לכן, יש לבדוק שה"שומר" הוגדר היטב.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.