לוגריתם טבעי

לוגריתם טבעי
סימול
הופכית
נגזרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac1x}
אינטגרל לא־מסוים

לוגריתם טבעי הוא לוגריתם שבסיסו הוא הקבוע המתמטי e, שהוא מספר טרנסצנדנטי המתחיל בספרות 2.718281828. המונח הוכנס לשימוש לראשונה בשנת 1668 על ידי ניקולאוס מרקטור.

באופן הפשוט ביותר, הלוגריתם הטבעי מוגדר לכל מספר ממשי חיובי, ואינו מוגדר למספרים שליליים. עם זאת, ניתן להרחיב את ההגדרה בצורה אנליטית לכל המספרים המרוכבים שאינם 0, ובפרט גם למספרים שליליים (ראו פירוט בהמשך).

הלוגריתם הטבעי מסומן , אך בטקסטים מתמטיים גם הסימון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log} פירושו פעמים רבות .

פונקציית הלוגריתם הטבעית, עבור ערכים ממשיים, היא פונקציה הפוכה של פונקציית אקספוננט. לפיכך מתקיים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(e^x)=x}

ועבור  :

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\ln(x)}=x}

הלוגריתם לפי בסיס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} קרוי "טבעי" משתי סיבות:

  • קל להגדירו כאינטגרל פשוט או כטור טיילור עם מקדמים רציונליים – מאפיין הנדיר בלוגריתמים לפי בסיס אחר.
  • פונקציית האקספוננט הטבעי מופיעה בתחומים שונים במתמטיקה הרבה יותר מהפונקציה , ובהתאם גם הפונקציה ההפוכה שהיא הלוגריתם הטבעי, יותר נפוצה מהלוגריתם עם בסיס עשר.

נדגים זאת באמצעות הנגזרת הבאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx}\log_b(x)=\frac{C}{x}}

רק כאשר בסיס הלוגריתם הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} , יהיה הקבוע בנגזרת זו שווה ל־1.

הגדרת הלוגריתם הטבעי

פורמלית ניתן להגדיר את הלוגריתם הטבעי כאינטגרל הבא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(a)=\int\limits_1^a\frac1x\,dx}

הנגזרת של הלוגריתם הטבעי ניתנת על ידי:

מכאן נגיע לטור טיילור הבא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\quad:|x|<1}

שאבריו הראשונים הם:

את הלוגריתם ניתן להגדיר גם עבור מספרים מרוכבים, בצורה שתכליל את הגדרתו עבור מספרים ממשיים. אם מספר מרוכב נתון על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=re^{\phi i}} כאשר הערך המוחלט של המספר ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi\in(-\pi,\pi]} הארגומנט שלו, אז הלוגריתם שלו נתון על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log(z)=\ln(r)+(\phi+2\pi k)i} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\in\Z} . בהגדרה זו, הלוגריתם הוא פונקציה רב-ערכית. רב ערכיות הפונקציה בעייתית, בין השאר, משום שהיא מונעת ממנה לשמש כהופכית לפונקציית המעריך הטבעי המרוכב . אם נרצה להפוך את הלוגריתם המרוכב לפונקציה חד-חד-ערכית, ניתן לנקוט באחת משתי דרכים:

  • ניתן לצמצם את התמונה לערכים עם חלק מרוכב שחסום בין שני קבועים. בצורה הזו מקבלים את הפונקציה החד-ערכית: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log(z)=\ln(r)+\phi i} כאשר .
בדרך כלל קובעים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=0} , ואז פונקציית הלוגריתם לא רציפה על המספרים הממשיים החיוביים. החלק המרוכב שלה "קופץ" מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi} ל-0:
לכל ממשיים מתקיים .
  • אם התחום שעליו אנו רוצים להגדיר את הפונקציה אינו "מקיף" את האפס – כלומר, קיימת קרן היוצאת מהראשית ומגיעה לאינסוף ולא חותכת את התחום שלנו, אז ניתן להגדיר את הלוגריתם הטבעי בצורה חד ערכית ורציפה על כל התחום. גם כאן ניתן להגדיר את הלוגריתם בצורה יחידה, עד כדי הזזה של .

שימושים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

משפט המספרים הראשוניים קובע כי כמות המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} שווה בקירוב ל- .

גם לסכום הסדרה ההרמונית יש קשר ל-e: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln(n)\right)=\gamma} כאשר גמא הוא קבוע אוילר-מסקרוני שערכו ...0.57721566490153286.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.