ייצוג של אלגברה

בתורת החוגים, ייצוג של אלגברה באמצעות יוצרים ויחסים היא דרך הגדרה של אלגברה. ייצוג של אלגברה כולל קבוצת יוצרים מובחנת וקבוצת יוצרים לאידאל היחסים שלהם, כלומר לגרעין של ההטלה מן האלגברה החופשית המוגדרת באמצעות היוצרים המובחנים.

הגדרות

יהי F שדה בסיס ותהי R אלגברה מעל F. יהיו יוצרים של R בתור F-אלגברה ונתבונן באלגברה החופשית הנוצרת מעל F על ידי המשתנים הפורמליים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x_i\}_{i\in I}} , היינו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\langle x_i\rangle _{i\in I}} . ישנה כעת הטלה טבעית מן האלגברה החופשית ל-R הניתנת באמצעות: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(x_i)=a_i} . ייצוג של R הוא קבוצת יוצרים מובחנת כזו ל-R, ביחד עם קבוצת יוצרים לגרעין של , הוא אידאל היחסים.

בקטגוריה של אלגברות קומוטטיביות ניתן לחזור על אותה בנייה, כאשר את מקום האלגברה החופשית ממלאת האלגברה הקומוטטיבית החופשית.

אומרים כי אלגברה היא מוצגת סופית אם קיים לה מספר סופי של יוצרים, כך שהגרעין של ההטלה שתוארה לעיל הוא אידאל נוצר סופית, ומוצגת מאוזנת אם מספר היוצרים שווה למספר היחסים.

לאלגברה החופשית דירוג לפי המעלה הכוללת, ואומרים כי היחסים הומוגניים אם המונומים בכל אחד מהם שווי-דרגה. במקרה כזה האלגברה המתקבלת היא אלגברה מדורגת.

באלגברה קומוטטיבית

בזיהוי הגאומטרי של חוג הפולינומים כחוג הפונקציות של המרחב האפיני, למספר היוצרים של אידאל היחסים של אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית (ולזהותם) חשיבות רבה. כך, למשל, את היריעה המתאימה לאידאל שנוצר על ידי אבר יחיד (לא נילפוטנטי) אפשר לזהות עם על-משטח: ממדו בהכרח קטן באחד מממד חוג הפולינומים. באופן כללי יותר, יריעה אפינית שממדה שווה להפרש בין מספר היוצרים למספר היחסים נקראת חיתוך שלם (תורת הסכמות).

באלגברה לא-קומוטטיבית

אלגברה המוגדרת באמצעות יחסים מונומיאליים, כלומר יחסים שהם מילים ביוצרים של האלגברה החופשית נקראת אלגברה מונומיאלית. באלגברות כאלה יש לתכונות אלגבריות רבות פירושים נוחים יותר; כך, למשל, ניתן להכריע האם אבר שקול לאפס באלגברה באמצעות המונומים המרכיבים אותו, והאלגברה היא ראשונית אם ורק אם לכל שני מונומים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle u,v\neq 0} קיים מונום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w} כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle uwv\neq 0} . גם חישוב ממד גלפנד-קירילוב של אלגברות כאלה נעשה פשוט וקומבינטורי יותר. לאלגברות מוצגות סופית מונומיאליות יש תיאור באמצעות אוטומט, ואלגברה מוצגת סופית מונומיאלית וראשונית היא פרימיטיבית.

לפי אי-שוויון גולוד-שפרביץ', אלגברה מדורגת המוגדרת באמצעות n יוצרים ופחות מ- יחסים הומוגניים היא אינסוף-ממדית (כמרחב וקטורי מעל שדה הבסיס).

ראו גם

  • ייצוג של חבורה
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.