טנזור התמד

טנזור ההתמד (או טנזור האינרציה) הוא דרך נוחה וקצרה להציג את מומנטי ההתמד של הגוף. כתיבת מומנט ההתמד כטנזור מאפשרת למצוא קשר נוח בין המהירות הזוויתית של גוף לתנע הזוויתי ולאנרגיה הקינטית שלו.

הקדמה – תנע זוויתי

תנע זוויתי של גוף (אלמנט מסה) ביחס לציר מסוים מוגדר כמכפלה וקטורית של התנע הקווי במרחק מהציר:

כאשר:

  • הוא תנע זוויתי של אלמנט מסה
  • התנע הקווי
  • וקטור המהירות
  • אלמנט המסה
  • הוא וקטור המרחק של אלמנט המסה מציר הסיבוב. במערכת צירים קרטזית הווקטור נתון על ידי
  • וקטור המהירות הזוויתית של אלמנט המסה. במערכת צירים קרטזית הווקטור נתון על ידי

נוכל לחשב את התנע הזוויתי בדרך של חישוב מכפלות וקטוריות בעזרת דטרמיננטות.

נוכל לפשט את הביטוי:

כעת כדי למצוא את התנע הזוויתי הכולל, נבצע אינטגרל מ0 עד M (כך ש-M היא המסה הכוללת של הגוף המסתובב):

, וכדי לפתור את האינטגרל יהיה עלינו רק לסכום את המכפלות הווקטוריות עבור כל רכיב בנפרד.

V הוא פונקציית הנפח של הגוף, ו-ρ, פונקציית הצפיפות.

ניתן לרשום בצורה מטריציונית:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\iiint \limits _{V}(y^{2}+z^{2})\rho (r)dV&-\iiint \limits _{V}yx\rho (r)dV&-\iiint \limits _{V}zx\rho (r)dV\\-\iiint \limits _{V}xy\rho (r)dV&\iiint \limits _{V}(z^{2}+x^{2})\rho (r)dV&-\iiint \limits _{V}zy\rho (r)dV\\-\iiint \limits _{V}xz\rho (r)dV&-\iiint \limits _{V}yz\rho (r)dV&\iiint \limits _{V}(x^{2}+y^{2})\rho (r)dV\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}}

המטריצה באגף השמאלי, היא וקטור התנע הזוויתי, המטריצה האמצעית היא טנזור ההתמד והמטריצה הימנית היא וקטור המהירות הזוויתית.

אם מדובר בגופים נקודתיים (לא גוף רציף), יש להחליף את האינטגרלים בסכומים.

לפעמים גם כותבים:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}}

הגדרה

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{I} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} }

הרכיבים על האלכסון הראשי הם מומנטי התמד של המסה ביחס לציר המערכת:

  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_{xx}} - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר ומוגדר כ:
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_{yy}} - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר ומוגדר כ: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!}
  • - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Z} ומוגדר כ: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!}

ושאר האיברים הם מכפלות הנקראות מכפלות התמד של המסה ביחס לזוג צירים נתון:

  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_{xy}} - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X, Y} ומוגדר כ: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_{xy} = I_{yx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} y_{i}\,\!}
  • עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_{xz}} - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X, Z} ומוגדר כ:עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_{xz} = I_{zx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} z_{i}\,\!}
  • עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ I_{yz}} - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים ומוגדר כ:
ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_{xy}=I_{yx}, I_{yz}=I_{zy}, I_{xz}=I_{zx}} .

יתרונות לשימוש בטנזור בחישובים על גופים קשיחים

בעזרת טנזור ההתמד נוח להציג את התנע הזוויתי של הגוף בכפל מטריצות: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L= I\cdot \,\omega } ונוח להציג את האנרגיה הקינטית של הגוף: . ניתן לעבור מערכות צירים בעזרת הפעלת טרנספורמציה על טנזור ההתמד ללא צורך לחשב את מומנטי ההתמד מחדש במערכת הצירים החדשה. אם היא מטריצת סיבוב, ו הוא טנזור ההתמד במערכת צירים ידועה, אז טנזור ההתמד במערכת הצירים המתקבלת על ידי הפעלת נתון על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_{new}=T^{-1}\cdot I\cdot T}

מערכת צירים ראשית של גוף קשיח

מערכת שבה מכפלות ההתמד של הגוף מתאפסות נקראת מערכת צירים ראשיים. ובגלל העובדה שטנזור ההתמד הוא מטריצה סימטרית ניתן ללכסן אותו על ידי מערכת צירים אורתוגונלית. זוהי מסקנה בעלת משמעות פיזיקלית חשובה כי כתוצאה מכך לכל גוף תלת ממדי ניתן לבחור שלושה צירים ניצבים שיהוו עבורו צירים ראשיים. כיוון שהתנע הזוויתי מתקבל ממכפלת טנזור האינרציה במהירות הזוויתית, מתקבלת תופעה מפתיעה - התנע הזוויתי לא חייב להיות מקביל למהירות הזוויתית. תופעה זו גורמת לכך שגופים המסתובבים באופן חופשי, יכולים לבצע תנועה מסובכת למדי. אם, לדוגמה, נזרוק עט באוויר כך שהוא מסתובב בערך סביב צירו, נגלה כי קצוות העט "מציירים" באוויר מעגלים קטנים. תופעה זו מתקבל כיוון שחוק שימור התנע דורש כי התנע הזוויתי ישאר קבוע. אם המהירות הזוויתית אינה מקבילה לתנע הזוויתי, מוכרח להתקיים שווקטור המהירות הזוויתי יקיף את ווקטור התנע הזוויתי במעגלים. תופעה זו נקראת נקיפה (פרצסיה) ומתוארת מתמטית בעזרת משוואות אוילר תוך שימוש בטנזור ההתמד במערכת צירים ראשית.

דוגמאות

בטבלה מוצגים טנזורי מומנט ההתמד ביחס לצירים הראשיים של גופים פשוטים נוספים. להצגת הטבלה לחצו על "הצגה".

תיאורתרשים הגוףטנזור מומנט ההתמד
כדור מלא ברדיוס r ומסה m
כדור חלול ברדיוס r ומסה m

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} m r^2 \end{bmatrix} }

חרוט ברדיוס r, גובה h ומסה m, הציר עובר במרכז הבסיס
קובייה מלאה ברוחב w, גובה h, עומק d, ומסה m עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + h^2) \end{bmatrix} }
מוט תמיר באורך l ומסה m כשהציר עובר בקצה (המוט רץ לאורך ציר z במקרה הזה)

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} m l^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} m l^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} }

מוט תמיר באורך l ומסה m כשהציר עובר במרכז המוט (המוט רץ לאורך ציר z במקרה הזה)

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m l^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m l^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} }

גליל מלא ברדיוס r, גובה h ומסה m

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{2}}mr^{2}\end{bmatrix}}}

לקריאה נוספת

  • Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983.
  • Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.