חפיפת מטריצות

חפיפה היא יחס שקילות שמוגדר עבור מטריצות באופן הבא:

תהיינה מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה ,

כך ש: , כאשר הוא הצמוד ההרמיטי של P.

ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה תבנית בילינארית בבסיסים שונים הן חופפות.

מכך נובע גם כי מטריצה מייצגת מכפלה פנימית אם ורק אם היא חופפת למטריצת היחידה .

הוכחה:
נניח כי חופפת ל-. מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה כך ש-. לכן .

כלומר הרמיטית. נותר להוכיח כי מטריצה חיובית. יהא . אזי .

הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-, לכן .

שוויון מתקבל אמ"מ , וכיוון ש- הפיכה, אזי השוויון יתקבל אמ"מ . כלומר מוגדרת חיובית.

נניח כי A מייצגת מכפלה פנימית. אזי A הרמיטית ומוגדרת חיובית.

תהי P מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס אורתונורמלי במובן הבא (הדלתא של קרונקר).

אזי שכן . מ.ש.ל.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.